Русская Википедия:Мера Жордана
Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и <math>n</math>-мерного объёма в <math>n</math>-мерном евклидовом пространстве.
Определение
Меру Жордана можно определить как единственную конечно-аддитивную меру, определённую на кольце многогранников и удовлетворяющую следующим условиям:
- Меры конгруэнтных многогранников равны.
- Мера единичного куба равна единице.
Максимальное кольцо множеств, на которое мера Жордана продолжается единственным образом, называется кольцом квадрируемых множеств.
Построение
Мера Жордана <math>m\Delta</math> параллелепипеда <math>\Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,\;b_i]</math> в <math>\R^n</math> определяется как произведение
- <math>m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i).</math>
Для ограниченного множества <math>E\subset\R^n</math> определяются:
- внешняя мера Жордана
- <math>m_eE=\inf\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\supset E</math>
- внутренняя мера Жордана
- <math>m_iE=\sup\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\subset E,\quad\Delta_k\cap\Delta_m = \varnothing</math>, если <math>k\neq m,</math>
здесь <math>\Delta_1,\;\Delta_2,\;\ldots,\;\Delta_N</math> — параллелепипеды описанного выше вида.
Множество <math>E</math> называется измеримым по Жордану (или квадрируемым), если <math>m_eE=m_iE</math>. В этом случае мера Жордана равна <math>mE=m_eE=m_iE</math>.
Свойства
- Множества, измеримые по Жордану, образуют кольцо, на котором мера Жордана является конечно-аддитивной мерой.
- Мера Жордана инвариантна относительно движений евклидова пространства.
- Множество <math>F</math> измеримо по Жордану, если для любого <math>\varepsilon>0</math> существует пара многогранников <math>P</math> и <math>Q</math> таких, что
- <math>P\subset F\subset Q</math> и <math>mP+\varepsilon>m Q</math>.
- Ограниченное множество <math>E\subset\R^n</math> измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет нулевую меру Жордана (или, что равносильно, когда его граница имеет нулевую меру Лебега). В частности, все множества, граница которых состоит из конечного числа гладких кривых и точек, измеримы по Жордану. Тем не менее существуют множества, ограниченные простой замкнутой кривой Жордана, которые не измеримы по Жордану.
- Внешняя мера Жордана одна и та же для <math>E</math> и <math>\bar E</math> (замыкания множества <math>E</math>) и равна мере Бореля <math>\bar E</math>.
История
Приведённое понятие меры ввели Пеано (1887) и Жордан (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.
Пример множества, неизмеримого по Жордану
Рассмотрим меру Жордана <math>m</math>, определённую на <math>\R</math>. Пусть <math>A= \left[0, 1\right] = \{x\in\R\colon 0\leqslant x\leqslant 1\}</math> — множество точек единичного отрезка., <math>\Q</math> — подмножество рациональных точек множества <math>A</math>, тогда <math>\Q</math> — неизмеримое по Жордану множество, так как <math>m_e \Q=1,\;m_i \Q=0,\;m_e \Q\neq m_i \Q</math>, то есть верхняя и нижняя мера Жордана не совпадают (хотя это множество измеримо по Лебегу).
Литература
- Шаблон:Книга
- Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 3;
- Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
- Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;
См. также
Шаблон:Интегральное исчисление
