Русская Википедия:Метрика Сасаки
Материал из Онлайн справочника
Метрика Сасаки — естественная риманова метрика на касательном расслоении риманова многообразия. Предложена с Шаблон:Iw в 1958 году.
Построение
Пусть <math>(M,g)</math> есть риманово многообразие, обозначим через <math>\tau\colon\mathrm{T} M\to M</math> касательное расслоение над <math>M</math>. Метрика Сасаки <math>\hat g</math> на <math>\mathrm{T} M</math> однозначно определяется следующими свойствами:
- Отображение <math>\tau\colon\mathrm{T} M\to M</math> есть риманова субмерсия.
- Сужение <math>\hat g</math> на каждое касательное пространство <math>\mathrm{T}_p\subset \mathrm{T} M</math> равно <math>g</math>.
- Предположим <math>\gamma(t)</math> есть кривая в <math>M</math> и <math>v(t)\in\mathrm{T}_{\gamma(t)}</math> параллельное векторное поле вдоль <math>\gamma</math>. Заметим, что <math>v(t)</math> образует кривую в <math>\mathrm{T} M</math>. Для <math>\hat g</math> выполняется <math>v'(t)\perp \mathrm{T}_{\gamma(t)}</math> при любом <math>t</math>.
Литература