Русская Википедия:Минимальный многочлен алгебраического элемента
Шаблон:Значения Минимальный многочлен в теории полей — конструкция, определяемая для алгебраического элемента: многочлен, которому кратны все многочлены, корнем которых является данный элемент.
Минимальные многочлены используются при изучении расширений полей. Если задано расширение <math>E\supsetneq K</math> и элемент <math>\alpha\in E</math>, алгебраический над <math>K</math>, то минимальное подполе <math>E</math>, содержащее <math>K</math> и <math>\alpha</math>, изоморфно факторкольцу <math>K[x]/(f(x))</math>, где <math>K[x]</math> — кольцо многочленов с коэффициентами в <math>K</math>, а <math>(f(x))</math> — главный идеал, порождённый минимальным многочленом <math>\alpha</math>. Также понятие минимального многочлена используется при определении сопряжённых элементов.
Определение
Пусть <math>E\supsetneq K</math> — расширение поля, <math>\alpha\in E</math> — элемент, алгебраический над <math>K</math>. Рассмотрим множество многочленов <math>f(x)\in K[x]</math>, таких что <math>f(\alpha)=0</math>. Это множество образует идеал в кольце многочленов <math>K[x]</math>. Действительно, если <math>f(\alpha)=0, g(\alpha)=0</math>, то <math>(f+g)(\alpha)=0</math>, и для любого многочлена <math>h(x)\in K[x]</math> <math>(f\cdot h)(\alpha)=0</math>. Этот идеал ненулевой, так как по предположению элемент <math>\alpha</math> алгебраичен; поскольку <math>K[x]</math> — область главных идеалов, этот идеал главный, то есть порождается некоторым многочленом <math>f(x)</math>. Такой многочлен определён с точностью до умножения на обратимый элемент поля; накладывая дополнительное требование, чтобы старший коэффициент <math>f(x)</math> был равен единице, то есть чтобы <math>f(x)</math> был приведённым многочленом, получается однозначное сопоставление произвольному алгебраическому элементу <math>\alpha</math> из данного расширения многочлена, который и называется минимальным многочленом <math>\alpha</math>. Из определения следует, что любой минимальный многочлен является неприводимым в <math>K[x]</math>.
Примеры
- Пусть <math>K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2</math>. Тогда минимальный многочлен числа <math>\alpha</math> — это <math>x^2-2</math>. Если же мы возьмём <math>K=\mathbb R</math>, то минимальный многочлен равен <math>x-\sqrt 2</math>.
- <math>K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2+\sqrt 3</math>. Минимальный многочлен <math>\alpha</math> — это <math>x^4-10x^2+1</math>.
- <math>K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt[3]{1+\sqrt2}+\sqrt[3]{1-\sqrt2}.</math> Минимальный многочлен <math>\alpha</math> равен <math>x^3+3x-2.</math>
- Аналогичный для <math>\alpha=\sqrt[3]{1+\sqrt2}-\sqrt[3]{1-\sqrt2}</math> многочлен равен <math>(x^3-3x-2\sqrt2)(x^3-3x+2\sqrt2)=x^6-6x^4+9x^2-8.</math>
Сопряжённые элементы
Шаблон:Falseredirect Сопряжённые элементы алгебраического элемента <math>\alpha</math> над полем <math>K</math> — это все (остальные) корни минимального многочлена <math>\alpha</math>.
Свойства
Пусть <math>E\supsetneq K</math> — нормальное расширение с группой автоморфизмов <math>G</math>, <math>\alpha \in E</math>. Тогда для любого <math>g \in G</math> — <math>g(\alpha)</math> является сопряжённым к <math>\alpha</math>, так как любой автоморфизм переводит корни данного многочлена из <math>K[x]</math> снова в корни. Обратно, любой элемент <math>\beta</math>, сопряжённый к <math>\alpha</math>, имеет такой вид: это значит, что группа <math>G</math> действует транзитивно на множестве сопряжённых элементов. Следовательно, по неприводимости минимального многочлена, <math>K(\alpha)</math> K-изоморфно <math>K(\beta)</math>. Следовательно, отношение сопряжённости симметрично.
Теорема Кронекера утверждает, что любое алгебраическое целое число, такое что его модуль и модуль всех сопряжённых ему в поле комплексных чисел равен 1, является корнем из единицы.
Примечания
- Шаблон:PlanetMath
- Weisstein, Eric W. Conjugate Elements на сайте Wolfram MathWorld.
- Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, 2010, p. 270—273. — ISBN 978-0-486-47417-5
