Русская Википедия:Многогранник Ньютона
Материал из Онлайн справочника
Многогранник Ньютона — многогранник с целочисленными вершинами в n-мерном евклидовом пространстве, который строится по многочлену от n переменных.
Конструкция
Предположим
- <math>f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum a_{i_1,\dots,i_n}x_1^{i_1}\dots x_n^{i_n}</math>
есть многочлен от n переменных. Обозначим через <math>I</math> множество всех мультииндексов <math>i_1,\dots,i_n</math> таких, что <math>a_{i_1,\dots,i_n}\ne0</math>. По определению многочлена <math>I</math> конечно.
Выпуклая оболочка
- <math>N_f=\mathop{\rm Conv}I\subset \mathbb{R}^n</math>
называется многогранником Ньютона многочлена <math>f</math>.
Свойства
- Типичное число ненулевых решений системы полиномиальных уравнений <math>f_1=\dots=f_n=0</math> равно
- <math>n!\cdot V(N_1,\dots,N_n),</math>
- где <math>N_i</math> многогранник Ньютона многочлена <math>f_i</math> и <math>V(N_1,\dots,N_n)</math> — их смешанный объём.[1][2]
Вариации и обобщения
- Многогранник Ньютона — Окунькова — аналогичная конструкция для типичных линейных комбинаций данных многочленов.[3]
Примечания
Литература
- Бураго, Юрий Дмитриевич, Виктор Абрамович Залгаллер. Геометрические неравенства. Наука, 1980.
- Valentina Kiritchenko, Evgeny Smirnov, Vladlen Timorin, Ideas of Newton-Okounkov bodies, Snapshots of modern mathematics from Oberwolfach, No. 8/2015:
- ↑ D. N. Bernstein, "The number of roots of a system of equations", Funct. Anal. Appl. 9 (1975), 183–185
- ↑ A. G. Kouchnirenko, "Polyhedres de Newton et nombres de Milnor", Invent. Math. 32 (1976), 1–31
- ↑ Шаблон:Статья