Русская Википедия:Многозначное отображение
Материал из Онлайн справочника
Многозначное отображение — разновидность математического понятия отображения (функции). Пусть <math>X</math> и <math>Y</math> — произвольные множества, а <math>2^Y</math> — совокупность всех подмножеств множества <math>Y.</math> Многозначным отображением из множества <math>X</math> в <math>Y</math> называется всякое отображение <math>F : \ X \to 2^Y.</math> Обычно областью определения многозначного отображения <math>F</math> является подмножество <math>X \subset \mathbb{R}^n</math>, а областью значений — пространство <math>\Omega(Y) \subset 2^Y,</math> состоящее из непустых компактных подмножеств множества <math>Y \subset \mathbb{R}^m,</math> то есть <math>F: X \to \Omega(Y).</math>
- Пример 1. Пусть <math>X = Y = \mathbb{R}</math>. Ставя в соответствие каждому значению <math>x \in X</math> отрезок <math>[-|x|,\,|x|],</math> мы получаем многозначное отображение <math>F: \mathbb{R} \to \Omega(\mathbb{R}).</math>
- Пример 2. Пусть <math>f: [0,1] \to \mathbb{R}</math> — непрерывная функция. Положим <math>X = [\min f,+\infty]</math> и <math>Y = [0,1].</math> Ставя в соответствие каждому значению <math>x\in X</math> множество <math>M(x)=\{y\in [0,1] : f(y)\le x\},</math> мы получаем многозначное отображение <math>F: X \to \Omega(Y).</math>
- Пример 3. Контингенция и паратингенция.
Многозначные отображения находят приложения в различных областях математики: негладком и выпуклом анализе, теории дифференциальных уравнений, теории управления, теории игр и математической экономике.
Связанные определения и свойства
- Пространство <math>\Omega(\mathbb{R}^m)</math> является метрическим с метрикой Хаусдорфа. Это позволяет ввести понятие непрерывного многозначного отображения.
- Рассматривая для каждого <math>x \in \mathbb{R}^n</math> опорную функцию множества <math>F(x) \in \Omega(\mathbb{R}^m),</math> мы получим вещественнозначную функцию <math>c(F(x),\psi)</math> от двух аргументов: <math>x \in \mathbb{R}^n</math> и <math>\psi \in (\mathbb{R}^n)^*</math>, где звёздочка означает сопряжённое пространство.
- Многозначное отображение <math>F</math> непрерывно тогда и только тогда, когда его опорная функция <math>c(F(x),\psi)</math> непрерывна по переменной <math>x</math> для каждого фиксированного <math>\psi</math>.
- Многозначное отображение называется измеримым, если его опорная функция <math>c(F(x),\psi)</math> измерима по переменной <math>x</math> для каждого фиксированного <math>\psi</math>.
- Однозначной ветвью или селектором многозначного отображения <math>F: \mathbb{R}^n \to \Omega(\mathbb{R}^m)</math> называется такая функция <math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m,</math> что <math>f(x)\in F(x)</math> для любого <math>x \in \mathbb{R}^n.</math>
- Лемма Филиппова: у любого измеримого многозначного отображения существует измеримый селектор. Лемма Филиппова имеет многочисленные приложения. В частности, она позволяет установить существование оптимального управления для широкого класса задач в теории управляемых систем.
- Многозначное отображение <math>F: X \to \Omega(Y)</math> называется полунепрерывным сверху (по включению) в точке <math>x_0\in X</math>, если для любой окрестности множества <math>F(x_0) \in \Omega(Y)</math> (обозначим её <math>V(F(x_0))</math>) существует такая окрестность точки <math>x_0 \in X</math> (обозначим её <math>U(x_0)</math>), что <math>F(x) \subset V(F(x_0))</math> для любого <math>x \in U(x_0).</math> Многозначное отображение <math>F: X \to \Omega(Y)</math> называется полунепрерывным сверху (по включению), если оно является полунепрерывным сверху в каждой точке <math>x\in X.</math> Непрерывное многозначное отображение (определение с помощью метрики Хаусдорфа) является полунепрерывным сверху.
- Теорема Какутани: Пусть <math>X \subset \mathbb{R}^n</math> — непустое, компактное, выпуклое подмножество и многозначное отображение <math>F: X \to \Omega(X)</math> имеет своими значениями компактные, выпуклые множества и является полунепрерывным сверху по включению. Тогда отображение <math>F</math> имеет неподвижную точку <math>x_* \in X,</math> то есть <math>x_* \in F(x_*).</math> Теорема Какутани имеет многочисленные приложения в теории игр. В частности, с её помощью легко получается доказательство фундаментального результата теории игр — теоремы Нэша о существовании равновесия в бескоалиционной игре.
См. также
Литература
- Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
- Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
- Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985).
- Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
- Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи, — Наука, Москва, 1980.
- Воробьёв Н. Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры, — Наука, Москва, 1984.
