Русская Википедия:Многообразие Эйнштейна
Материал из Онлайн справочника
Многообразие Эйнштейна — риманово или псевдориманово многообразие, тензор Риччи которого пропорционален метрическому тензору.
Это условие удовлетворяется для решений уравнений Эйнштейна с возможно не нулевой космологической постоянной, но вообще говоря, размерность многообразия Эйнштейна и его сигнатура могут быть произвольными — они не обязательно должны быть четырёх-мерными лоренцевыми многообразиями изучаемых в общей теории относительности.
Названы в честь Альберта Эйнштейна.
Определение
Риманово многообразие является многообразием Эйнштейна если
- <math>\mathrm{Ric} = k\cdot g</math>
для некоторой постоянной <math>k</math>, где <math>\mathrm{Ric}</math> обозначает Риччи тензор а <math>g</math> — метрический тензор.
Замечания
- В случае <math>k=0</math> такое многообразие также называется Риччи-плоским.
- Уравнение Эйнштейна с космологической постоянной <math>\Lambda</math> выглядит следующим образом
- <math>R_{ab} - \tfrac{1}{2}\cdot g_{ab}\cdot R + g_{ab}\cdot\Lambda = 8\cdot \pi\cdot T_{ab}, </math>
- в вакууме тензором энергии–импульса <math> T_{ab} </math> равен нулю. Поэтому уравнение сводится к
- <math>R_{ab} - \tfrac{1}{2}\cdot g_{ab}\cdot R + g_{ab}\cdot\Lambda = 0,</math>
- которое можно переписать как
- <math>R_{ab} = \frac{2\cdot \Lambda}{n-2}\cdot g_{ab}.</math>
- То есть для космологической константы <math>\Lambda</math> имеем <math>k=\tfrac{2\cdot \Lambda}{n-2}</math>.
Примеры
- Любоe многообразие постоянной секционной кривизны; в частности:
- Евклидово пространство, является плоским и значит Риччи-плоским и в частности многообразием Эйнштейна.
- Единичная сфера, <math>\mathbb{S}^n</math> эйнштейновская с <math>k=n-1</math>.
- Пространство Лобачевского эйнштейновское с отрицательным <math>k</math>.
- Комплексные проективные пространства, <math>\mathbb{C}\mathrm{P}^n</math> с Шаблон:Iw.
- Пространство Калаби — Яу Риччи-плоские и в частности является многообразием Эйнштейна.
Свойства
- Шаблон:Iw — необходимое топологическое условие для существования метрики Эйнштейна на замкнутом, ориентированном, четырёх-мерном многообразии.
Вариации и обобщения
Ссылки
