Русская Википедия:Моноид (теория категорий)
В теории категорий моноид <math>(M,\mu,\eta)</math> в моноидальной категории <math>(\mathbf{C}, \otimes, I)</math> — это объект M вместе с двумя морфизмами
- <math>\mu : M\otimes M\to M</math> (называемый умножением),
- и <math>\eta : I\to M</math> (называемый единицей),
такими что следующая пятиугольная диаграмма
а также диаграмма
коммутативны. Обозначения те же, что и в статье Моноидальная категория: I — единица категории, <math>\alpha</math>, <math>\lambda</math> и <math>\rho</math> — ассоциатор и морфизмы, соответствующие левому и правому умножению на единицу.
Двойственно, комоноид в моноидальной категории C — это моноид в двойственной категории <math>\mathbf{C}^{\mathrm{op}}</math>.
Пусть категория C имеет также преобразование симметрии <math>\gamma</math>. Тогда моноид <math>M</math> называется симметричным, если
- <math>\mu\circ\gamma=\mu</math>.
Примеры
- Моноида в категории Set (рассматриваемой, как моноидальная категория относительно прямого произведения) — это моноид в общеалгебраическом смысле.
- Моноид в категории абелевых групп (с тензорным произведением как <math>\mathbb Z</math>-модулей) — это кольцо.
- Из Шаблон:Не переведено 5 следует, что моноид в категории колец (с единицей) — это коммутативное кольцо.
- Моноид в категории модулей над коммутативным кольцом R — это R-алгебра.
- Моноид в категории векторных пространств над полем k — k-алгебра, соответственно, комоноид — k-коалгебра.
- Для любой категории C, категория [C,C] эндофункторов (функторов в себя) [C,C] имеет моноидальную структуру, индуцированную операцией композиции. Моноид в категории эндофункторов [C,C] — это монада в C.
Категория моноидов
Пусть <math>(M,\mu,\eta)</math> и <math>(M',\mu',\eta')</math> — два моноида в моноидальной категории C, морфизм <math>f:M\to M'</math> является морфизмом моноидов, если
- <math>f\circ\mu = \mu'\circ(f\otimes f)</math>,
- <math>f\circ\eta = \eta'</math>.
Категория моноидов в C с морфизмами, определёнными выше, записывается как <math>\mathbf{Mon}_\mathbf{C}</math>.
Литература
- Маклейн С. Категории для работающего математика — М.: Физматлит, 2004.
- Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoids, Acts and Categories (2000), Walter de Gruyter, Berlin — ISBN 3-11-015248-7
