Русская Википедия:Моноидальный функтор

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В теории категорий моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями, сохраняюющие моноидальную структуру, то есть умножение и тождественный элемент.

Определение

Пусть <math>(\mathcal C,\otimes,I_{\mathcal C})</math> и <math>(\mathcal D,\bullet,I_{\mathcal D})</math> — моноидальные категории. Моноидальный функтор из <math>\mathcal C</math> в <math>\mathcal D</math> состоит из функтора <math>F:\mathcal C\to\mathcal D</math>, естественного преобразования

<math>\phi_{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)</math>

и морфизма

<math>\phi:I_{\mathcal D}\to FI_{\mathcal C}</math>,

называемых структурными морфизмами, таких что для любых <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> в <math>\mathcal C</math> диаграммы

Файл:Lax monoidal funct assoc.png

Файл:Lax monoidal funct right unit.png    и    Файл:Lax monoidal funct left unit.png

коммутативны в категории <math>\mathcal D</math>. Здесь используются стандартные обозначения <math>\alpha, \rho, \lambda</math> для моноидальной структуры категорий <math>\mathcal C</math> и <math>\mathcal D</math>.

Сильно моноидальный функтор — это моноидальный функтор, такой что структурные морфизмы <math>\phi_{A,B}, \phi</math> обратимы.

Строго моноидальный функтор — это моноидальный функтор, структурные морфизмы которого тождественны.

Пример

Забывающий функтор <math>U:(\mathbf{Ab},\otimes_\mathbf{Z},\mathbf{Z}) \rightarrow (\mathbf{Set},\times,\{*\})</math> из категории абелевых групп в категорию множеств. Здесь структурный морфизм <math>\phi_{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)</math> — это сюръекция, индуцированная стандартным отображением <math>A\times B\to A\otimes B\to</math>; отображение <math>\phi\colon \{*\}\to\mathbb Z</math> переводит синглетон * в 1.

Примечания

• Kelly, G. Max (1974), «Doctrinal adjunction», Lecture Notes in Mathematics, 420, 257—280