Русская Википедия:Моносплайн

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Моносплайн — вид сплайна, сконструированный из степенной функции <math>x^m</math> и полиномиального сплайна степени <math>m-1</math>, получивший распространение в задачах поиска наилучших квадратурных формул для дифференцируемых функцийШаблон:Sfn и ряде других приложений; считаются удобными для компьютерных реализацийШаблон:Sfn.

Формально, для заданного целого числа <math>m</math>, множества узлов <math>\Delta = (x_1 < x_2 < \dots < x_k)</math> и вектора гладкости <math>\mathfrak M = (m_1, \dots, m_k)</math> (<math>1 \leqslant m_i \leqslant m</math> для всех <math>i = 1, \dots, k</math>), класс моносплайнов степени <math>m</math> определяется какШаблон:Sfn:

<math>\mathcal{MS}(P_{m-1}, \mathfrak M, \Delta) = \left \{ \frac{x^m}{m!} + s(x) \mid s \in \mathcal S(P_{m-1}, \mathfrak M, \Delta) \right \}</math>,

где <math>\mathcal S(P_{m-1}, M, \Delta)</math> — класс полиномиальных сплайнов степени <math>m-1</math> над множеством узлов <math>\Delta</math> и вектором гладкости <math>\mathfrak M</math> (что означает равенство в <math>i</math>-м узле производных стыкующихся многочленов вплоть до <math>m_i</math>-й степени включительно).

Многие свойства моносплайнов наследуются от полиномиальных сплайнов, в частности, для них имеет место следующий результат: если <math>f</math> — моносплайн класса <math>\mathcal{MS}(P_{m-1}, \mathfrak M, \Delta)</math>, то его правосторонняя производная <math>f'_+</math> — моносплайн класса <math>\mathcal{MS}(P_{m-2}, \mathfrak M', \Delta)</math>, где <math>\mathfrak M' = \{ \min(m_1, m-2), \dots, \min(m_k, m-2)\}</math>. Для переноса ряда свойств с полиномиальных сплайнов на моносплайны разработаны специальные техники, в частности, для определения кратности нулейШаблон:Sfn.

Пространство моносплайнов <math>\mathcal{MS}(P_{m-1}, \mathfrak M, \Delta)</math> выпукло, при этом не является линейным (в отличие от пространств полиномиальных сплайнов).

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Из