Русская Википедия:Неассоциативное кольцо

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Неассоциативное кольцо (не обязательно ассоциативное кольцо) — общеалгебраическая структура, обобщение понятия кольца, определяется сходным с кольцом образом, но при этом не требуется ассоциативность умножения. Иногда под «кольцом» понимается это его обобщение, но большинство источников по алгебре включают в определение термина «кольцо» условие ассоциативности умножения.

Определение

Неассоциативное кольцо — множество <math>R</math>, на котором заданы две бинарные операции: <math>+</math> и <math>\times</math> (называемые сложением и умножением), со следующими свойствами, выполняющимися для любых <math>a,b,c\in R</math>:

1. <math>a + b = b + a</math> — коммутативность сложения;
2. <math>a + (b + c) = (a + b) + c</math> — ассоциативность сложения;
3. <math>\exists 0 \in R\ \left(a + 0 = 0 + a = a\right)</math> — существование нейтрального элемента относительно сложения;
4. <math>\forall a \in R\; \exists b \in R \left(a + b = b + a = 0\right)</math> — существование противоположного элемента относительно сложения;
5. <math>\left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\ (b + c) \times a = b \times a + c \times a \end{matrix}\right. </math> — дистрибутивность.

Иными словами, неассоциативное кольцо — это универсальная алгебра <math>\langle R,+,\times,0 \rangle</math>, такая что алгебра <math>\langle R, + \rangle</math> — абелева группа, и операция <math>\times</math> дистрибутивна слева и справа относительно <math>+</math>.

Кольцо, в котором операция умножения обладает свойством альтернативности, называется альтернативным.

Свойства

Даже если кольцо имеет единицу, не работает привычное понятие обратимого элемента: обратный может существовать с одной стороны и отсутствовать с другой, могут существовать с обеих сторон но быть разными, или существовать различные односторонние обратные к одному элементу. Также, наличие каких-либо обратных не гарантирует, что элемент не делит нуль, и не сохраняется при перемножении.

Аналогично обычным кольцам, Шаблон:Anchorнеассоциативное кольцо можно рассмотреть как неассоциативную алгебру над кольцом целых чисел.

Примеры

Алгебры (не обязательно ассоциативные) над полем или над кольцом являются неассоциативными кольцами.

Неассоциативными кольцами являются алгебры Ли и йордановы алгебры (с учётом определения как алгебр над кольцом целых чисел).

Полуполе — структура с делением, в которой ненулевые элементы которой образуют квазигруппу по умножению, также является неассоциативным кольцом.

Ссылки

• Шаблон:Книга