Русская Википедия:Неравенство Клаузиуса
Неравенство Клаузиуса (1854): Количество теплоты, полученное системой при любом круговом процессе, делённое на абсолютную температуру, при которой оно было получено (приведённое количество теплоты), неположительно.
- <math> \circ \sum\limits_{i = 1}^N {{{Q_i } \over {T_i }}} \le 0.</math>
Здесь знак <math>\circ</math> обозначает круговой процесс. Подведённое количество теплоты, квазистатически полученное системой, не зависит от пути перехода (определяется лишь начальным и конечным состояниями системы) — для квазистатических процессов неравенство Клаузиуса обращается в равенство[1].
- <math> \circ \sum\limits_{i = 1}^N \left( {{{Q_i } \over {T_i }}} \right)_{QuazistaticProcess} = 0.</math>
Вывод
Частный случай: два тепловых резервуара
Пусть система <math>I</math> сообщается с тепловыми резервуарами <math>R_1</math> и <math>R_2</math> температур <math>T_1</math> и <math>T_2</math> соответственно. Безразлично, какой из них является нагревателем, а какой — холодильником (направление передачи тепла определяется знаком — положительным, если оно получено системой, и иначе отрицательным). Согласно второй теореме Карно КПД цикла Карно — максимальный; для системы <math>I</math> выполняется <math>1 + {{Q_2 } \over {Q_1 }} \le 1 - {{T_2 } \over {T_1 }}</math>. Отсюда следует частный случай[2] неравенства Клаузиуса:
- <math>{{Q_1 } \over {T_1 }} + {{Q_2 } \over {T_2 }} \le 0.</math>[3]
(При обратимом процессе, в частности при цикле Карно, выполняется равенство.)
Общий случай: много тепловых резервуаров
Для получения неравенства Клаузиуса в общем виде можно рассмотреть систему A, работающую с n резервуарами температур <math>T_i</math> и получающую от них тепло <math>Q_i</math>. Система при этом совершает произвольный круговой процесс — обратимый или необратимый. Вводится дополнительный Резервуар температуры <math>T_0</math>. Между ним и остальными резервуарами запускаются машины Карно — по одной на каждый.
По вышедоказанному равенству для двухрезервуарной обратимой системы выполняется
- <math>{{Q_{0i} } \over {T_0 }} + {{Q'_i } \over {T_i }} = 0 \Rightarrow Q_{0} = \sum\limits_{i = 1}^n {Q_{0i} } = - T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q'_i } \over {T_i }}}. </math>
Циклы Карно проводятся таким образом, чтобы передавать резервуарам столько тепла, сколько они передали системе A
- <math>Q'_i = - Q_i.</math>
Тогда
- <math>Q_0 = T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q_i } \over {T_i }}}. </math>
Это тепло отдаст резервуар температуры <math>T_0 </math>, в то время как состояние остальных резервуаров вернётся к исходному. Следовательно, рассмотренный процесс эквивалентен процессу передачи тепла <math>Q_0 = T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q_i } \over {T_i }}} </math> резервуаром температуры <math>T_0 </math> системе A и всем машинам Карно, причём глобально система теплоизолирована. Следовательно, по первому началу термодинамики, системой A и n машинами Карно совершена работа <math>Q_0 = T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q_i } \over {T_i }}} </math>. В соответствии с формулировкой Томсона второго начала термодинамики эта работа не может быть положительной. Отсюда следует неравенство Клаузиуса в общем виде:
- <math>\sum\limits_i^{} {{{Q_i } \over {T_i }}} \le 0.</math>
Следствия
Неравенство Клаузиуса позволяет ввести понятие энтропии[4].
Энтропия системы — функция её состояния, определённая с точностью до аддитивной константы. Разность энтропии в двух равновесных состояниях 1 и 2 по определению равна приведённому количеству теплоты, которое надо сообщить системе, чтобы перевести её из состояния 1 в состояние 2 по любому квазистатическому пути.
- <math>{S_{\rm{2}} - S_{\rm{1}} = \int\limits_{{\rm{1}} \to {\rm{2}}} {{{\delta Q} \over T}}}.</math>
Из неравенства Клаузиуса и определения энтропии непосредственно следует эквивалентный второму началу термодинамики
Закон неубывания энтропии. Энтропия адиабатически изолированной системы либо возрастает, либо остаётся постоянной.
Примечания
