Русская Википедия:Неравенство Кон-Фоссена
Материал из Онлайн справочника
Неравенство Кон-Фоссена связывает интеграл от гауссовой кривизны некомпактной поверхности с её эйлеровой характеристикой. Это неравенство аналогично формуле Гаусса — Бонне.
Названо в честь Стефана Эммануиловича Кон-Фоссена.
Формулировка
Для любой поверхности <math>S</math> с полной римановой метрикой и ограниченной интегральной кривизной выполняется неравенство[1]
- <math> \iint\limits_S K \le 2\cdot\pi\cdot\chi(S), </math>
где <math> K </math> обозначает гауссову кривизну и <math> \chi(S)</math> — Эйлерову характеристику <math>S</math>.
Примеры
- Если <math>S</math> — компактная поверхность без края, то неравенство переходит в равенство согласно формуле Гаусса — Бонне.
- Если <math>S</math> — плоскость, то неравенство становится строгим (его левая часть равна нулю, правая — <math> 2\pi </math>).
Примечания
Литература
- ↑ Robert Osserman, A Survey of Minimal Surfaces, Courier Dover Publications, 2002, page 86.
