Русская Википедия:Неравенство Лоясевича
Неравенство Лоясевича — неравенство, установленное польским математиком Станисловом Лоясевичем (Шаблон:Lang-pl), дающее верхнюю оценку для расстояния от точки произвольного компакта до множества нулевого уровня вещественной аналитической функции многих переменных. Это неравенство нашло применения в различных разделах математики, в том числе, в вещественной алгебраической геометрии, в анализе, в теории дифференциальных уравнений[1] [2].
Формулировка
Пусть функция <math>f: U \to \R</math> является вещественно аналитической на непустом открытом множестве <math>U \subset \R^n</math> и пусть <math>Z = \{x \in U : f(x)=0 \}</math> — множество нулей функции <math>f</math>. Если множество <math>Z</math> непусто, то для любого непустого компакта <math>K \subset U</math> существуют такие константы <math>\alpha \ge 2</math> и <math>C>0</math>, что имеет место неравенство
- <math>\inf_{z \in Z}|x-z|^\alpha \le C|f(x)| \ \ \forall \, x \in K,</math>
число <math>\alpha</math> в котором может быть достаточно большим.
Кроме того, для любой точки <math>p \in U</math> существует достаточно малая её окрестность <math>W \subset U</math> и такие константы <math>0< \beta <1</math> и <math>C>0</math>, что имеет место второе неравенство Лоясевичаː
- <math>|f(x)-f(p)|^\beta \le C|\nabla f(x)| \ \ \forall \, x \in W.</math>
Из второго неравенства очевидно следует, что для каждой критической точки вещественно аналитической функции существует такая окрестность, что функция принимает то же самое значение во всех критических точках из этой окрестности.
Литература
- Tobias Holck Colding, William P. Minicozzi II, Lojasiewicz inequalities and applications, arXiv:1402.5087 Шаблон:Wayback
- Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. — М.: Мир, 1968.
- Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
- Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
Примечания
- ↑ В.И. Арнольд, Ю.С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985.
- ↑ Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко, Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей, УМН, 46:1(277) (1991), 3–39.
