Случай равенства также называется тождеством Птолемея.
О доказательствах
Один из вариантов доказательства неравенства основан на применении инверсии относительно окружности с центром в точке <math>A</math>; этим неравенство Птолемея сводится к неравенству треугольника для образов точек <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math>.[1]
Теорема Птолемея может доказываться следующим способом (близким к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) — ввести точку <math>E</math> такую, что <math>\angle ABE=\angle DBC</math>, а потом через подобие треугольников.
Теорема Помпею.[2] Рассмотрим точку <math>X</math> и правильный треугольник <math>ABC</math>. Тогда из отрезков <math>XA</math>, <math>XB</math> и <math>XC</math> можно составить треугольник, причём этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка <math>X</math> лежит на описанной окружности треугольника <math>ABC</math>.
Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.
Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если <math>A_1, A_2, \dots A_6</math> произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem)[3]), то
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда <math>A_1\dots A_6</math> — вписанный шестиугольник.
Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности <math>\alpha,\beta,\gamma</math> и <math>\delta</math>, касающиеся данной окружности в вершинах <math>A,B,C</math> и <math>D</math> выпуклого четырёхугольника <math>ABCD</math>. Пусть <math>t_{\alpha\beta}</math> — длина общей касательной к окружностям <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); <math>t_{\beta\gamma},t_{\gamma\delta}</math> и т. д. определяются аналогично. Тогда
