Русская Википедия:Нильпотентная группа
Материал из Онлайн справочника
Нильпотентная группа — естественное обобщение понятия абелевой группы.
Нильпотентные группы встречаются в теории Галуа, а также в работах по классификации групп. Они, кроме того, играют заметную роль в классификации групп Ли. Аналогичные понятия определяются для алгебр Ли.
Определение
Нильпотентная группа ― группа <math>G</math>, обладающая центральным рядом от <math>G_0=\{e\}</math> до <math>G_n=G</math> конечной длины.
Связанные определения
- Длина наиболее короткого центрального ряда нильпотентной группы называется её классом (или ступенью) нильпотентности.
- Все нильпотентные группы класса нильпотентности не больше <math>n</math> образуют многообразие, определяемое тождеством
- <math>[\ldots[[x_0,\;x_1],\;x_2],\;\ldots,\;x_n]=1.</math>
- Свободные группы этого многообразия, то есть группы удовлетворяющие только таким соотношениям называются свободными нильпотентными группами.
- Все нильпотентные группы класса нильпотентности не больше <math>n</math> образуют многообразие, определяемое тождеством
Свойства
- В любой нильпотентной группе нижний (а также верхний) центральный ряд обрывается на единичной подгруппе и имеет длину, равную классу нильпотентности группы.
- Конечные нильпотентные группы исчерпываются прямыми произведениями <math>p</math>-групп.
- В любой нильпотентной группе элементы конечных порядков образуют подгруппу, факторгруппа по которой не имеет кручения.
- Конечно порожденные нильпотентные группы без кручения исчерпываются группами целочисленных треугольных матриц с единицами на главной диагонали и их подгруппами.
- Конечно порожденные нильпотентные группы являются полициклическими группами, более того, они имеют центральный ряд с циклическими факторами.
- Любая конечно порождённая нильпотентная группа без кручения является решёткой в односвязной нильпотентной группе Ли.
См. также
