Русская Википедия:Нильпотентный элемент
Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.
Рассмотрение нильпотентных элементов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, так как они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).
Термин ввёл Бенджамин Пирс в работе по классификации алгебрШаблон:Sfn.
Определение
Элемент x кольца R называется нильпотентным, если существует положительное целое число n, такое, что <math>x^n = 0</math>Шаблон:Sfn.
Минимальное значение <math>n</math>, для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента <math>a</math>.
Примеры
- Это определение может быть применено, в частности, к квадратным матрицам. Матрица
- <math>A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>
- нильпотентна, поскольку <math>A^3 = 0</math>. Подробнее в статье Нильпотентная матрица.
- В факторкольце Z/9Z класс эквивалентности числа 3 нильпотентен, поскольку 32 сравнимо с 0 по модулю 9.
- Предположим, что два элемента a и b в кольце R удовлетворяют условию <math>ab = 0</math>. Тогда элемент <math>c = ba</math> нильпотентен, поскольку <math>c^2 = (ba)^2 = b(ab)a = 0</math>. Пример для матриц (в качестве a и b):
- <math>A = \begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix}, \;\;
B =\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}.
</math>
- Здесь <math>AB = 0, BA = B</math>.
- Кольцо Шаблон:Не переведено 5 содержит конус нильпотентных элементов.
- По определению любой элемент Шаблон:Не переведено 5 нильпотентен.
Свойства
- Никакой нильпотентный элемент не может быть обратимым (за исключением тривиального кольца {0}, который имеет единственный элемент Шаблон:Nowrap). Все ненулевые нильпотентные элементы являются делителями нуля.
- Матрица A размером n-на-n с элементами из поля нильпотентна тогда и только тогда, когда её характеристический многочлен равен <math>t^n</math>.
- Если элемент x нильпотентен, то <math>1 - x</math> является обратимым элементом, поскольку из <math>x^n = 0</math> следует:
- <math>(1 - x) (1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}) = 1 - x^n = 1.</math>
- Более общо, сумма обратимого элемента и нильпотентного элемента является обратимым элементом, если они коммутируют.
Коммутативные кольца
Нильпотентные элементы коммутативного кольца <math>R</math> образуют идеал <math>\mathfrak{N}</math>, что является следствием бинома Ньютона. Этот идеал является нильрадикалом кольца. Любой нильпотентный элемент <math>x</math> в коммутативном кольце содержится в любом простом идеале <math>\mathfrak{p}</math> этого кольца, поскольку <math>x^n = 0\in \mathfrak{p}</math>. Таким образом, <math>\mathfrak{N}</math> содержится в пересечении всех простых идеалов.
Если элемент <math>x</math> не нильпотентен, мы можем локализовать с учётом степеней <math>x</math>: <math>S=\{1,x,x^2,...\}</math>, чтобы получить ненулевое кольцо <math>S^{-1}R</math>. Простые идеалы локализованного кольца соответствуют в точности этим простым идеалам <math>\mathfrak{p}</math> кольца <math>R</math> с <math>\mathfrak{p}\cap S=\empty</math>Шаблон:Sfn. Так как любое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, любой ненильпотентный элемент <math>x</math> не содержится в некотором простом идеале. Тогда <math>\mathfrak{N}</math> является в точности пересечением всех простых идеаловШаблон:Sfn.
Характеристика, подобная Радикалу Джекобсона и аннигиляции простых модулей, доступна для нильрадикала — нильпотентные элементы кольца R это в точности те, которые аннигилируют все области целостности внутрь кольца R. Это следует из факта, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов.
Нильпотентные элементы Алгебры Ли
Пусть <math>\mathfrak{g}</math> — Алгебра Ли. Тогда элемент <math>\mathfrak{g}</math> называется нильпотентным, если он в <math>[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]</math> и <math>\operatorname{ad} x</math> является нильпотентным преобразованием. См. также Шаблон:Не переведено 5.
Нильпотентность в физике
Операнд Q, удовлетворяющий условию <math>Q^2 = 0</math> нильпотентен. Шаблон:Не переведено 5, которые допускают представление фермионных полей через интегралы по траекториям, являются нильпотентными, поскольку их квадрат обращается в нуль. БРСТ заряд является важным примером в физике.
Линейные операторы образуют ассоциативную алгебру, а тогда и кольцо, это специальный случай первоначального определенияШаблон:SfnШаблон:Sfn. Более обще, принимая во внимание определения выше, оператор Q нильпотентен, если существует <math>n \in \mathbb{N}</math>, такой, что <math>Q^n = 0</math> (нулевая функция). Тогда линейное отображение нильпотентно тогда и только тогда, когда оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другим примером служит внешняя производная (снова с <math>n = 2</math>). Оба примера связаны через суперсимметрию и теорию МорсаШаблон:Sfn как показал Эдвард Виттен в признанной статьеШаблон:Sfn.
Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентно, если выражено в терминах Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn. Более обще, техника микроаддитивности, использует нильпотентные инфинитезимали и является частью гладкого инфинитезимального анализа.
Алгебраические нильпотенты
Двухмерные дуальные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, которые содержат нильпотентные пространства, включают Шаблон:Не переведено 5 (кокватернионы), Шаблон:Не переведено 5, бикватернионы <math>\mathbb C\otimes\mathbb H</math> и комплексные октанионы <math>\mathbb C\otimes\mathbb O</math>.
См. также
Примечания
Литература
