Русская Википедия:Ним (игра)
Шаблон:Другие значения Ним — игра, в которой два игрока по очереди берут предметы, разложенные на несколько кучек. За один ход может быть взято любое количество предметов (больше нуля) из одной кучки. Выигрывает игрок, взявший последний предмет. В классическом варианте игры число кучек равняется трём.
Частный случай, когда кучка одна, но максимальное число предметов, которые можно взять за ход, ограничено, известен как игра Баше. Ним — конечная игра с полной информацией. Классическая игра Ним имеет фундаментальное значение для теоремы Шпрага — Гранди. Эта теорема утверждает, что обычная игра в сумму беспристрастных игр эквивалентна обычной игре в Ним. При этом каждой беспристрастной игре-слагаемому соответствует кучка Ним, число предметов в которой равно значению функции Шпрага — Гранди для игровой позиции данной игры.
История игры
Китайская игра ним упоминалась европейцами ещё в XVI веке. Имя «ним» было дано игре американским математиком Чарльзом Бутоном (Шаблон:Lang-en), описавшим в 1901 году выигрышную стратегию игры. Существует несколько версий о происхождении названия игры:
- от немецкого глагола nehmen или от староанглийского глагола Nim, имеющих значение «брать»;
- ананим от английского глагола Win («побеждать»).
Игрушка «Доктор Ним», небольшой шариковый компьютер, придуманный в 1960-х, играл не в ним, а в игру Баше.
Стратегия игры
В общем случае рассматривается <math>p</math> кучек предметов с <math>N_1, N_2, \cdots N_p</math> предметами. Игроки ходят по очереди. Ход заключается в том, что игрок берёт из кучки <math>i \in [1, p]</math> <math>n \in [1, N_i]</math> предметов. Каждой позиции игры ставится в соответствие ним-сумма этой позиции — результат сложения размеров всех кучек в двоичной системе счисления без учёта переноса разрядов, то есть сложение двоичных разрядов чисел в поле вычетов по модулю 2: <math>S=N_1 \oplus N_2 \oplus \cdots \oplus N_p</math>
Выигрышная стратегия состоит в том, чтобы оставлять после своего хода позицию с ним-суммой, равной нулю. Она основана на том, что из любой позиции с ним-суммой, не равной нулю, можно одним ходом получить позицию с нулевой ним-суммой, а из позиции с нулевой ним-суммой любой ход ведёт в позицию с ним-суммой, отличной от нуля.
Пример: предположим, в игре три кучки, в них соответственно 2 (0010 в бинарном представлении), 8 (1000) и 13 (1101) предметов. Ним-сумма этой позиции — 7 (0111). Следовательно, выигрышная стратегия состоит в том, чтобы взять три предмета из третьей кучки — там останется 10 (1010) предметов, и ним-сумма позиции станет 0 (0000). Предположим, после вашего хода противник забирает все предметы из первой кучки — выигрышная стратегия будет заключаться в том, чтобы забрать два предмета из третьей кучки. В таком случае после вашего хода в кучках будет соответственно 0 (0000), 8 (1000) и 8 (1000) предметов, ним-сумма по-прежнему будет равняться 0.
Варианты
Обратный ним
Игроки дополняют кучки до некоего <math>N</math>. Имеется как квест в компьютерной игре «Космические рейнджеры». Игра эквивалентна обычному ниму с состоянием <math>\{N - N_i \}_{i=1}^p</math>.
Ним-Баше
Можно брать не более <math>k</math> предметов. Игра эквивалентна обычному ниму с состоянием <math>\{N_i \operatorname{mod} (k+1) \}_{i=1}^p</math>
Шоколадка
Есть шоколадка <math>m \times n</math>, одна долька «отравленная». Игрок своим ходом разламывает шоколадку по линии и съедает неотравленную часть. Проигрывает тот, кому останется отравленная долька. Игра эквивалентна ниму с четырьмя кучками.
Мизер
В этом варианте игрок, взявший последний объект, проигрывает. Выигрышная стратегия совпадает с выигрышной стратегией обычной игры до того момента, когда в результате хода игрока на столе должно остаться некоторое количество кучек с единственным предметом в каждой из них. В случае мизера игрок должен оставить нечётное количество кучек, тогда как выигрышная стратегия обычной игры требует оставить чётное количество кучек, чтобы ним-сумма равнялась нулю. Это можно сформулировать так: если осталась ровно одна кучка, содержащая более одного предмета, то забрать из неё все предметы или все кроме одного, чтобы осталось нечетное количество единичных кучек; иначе придерживаться выигрышной стратегии обычной игры, можно заметить, что случай, когда выигрышная стратегия обычной игры, после нашего хода оставляет все единичные кучки кроме одной, невозможен, так как xor сумма в таком случае будет ненулевой.
Мультиним
Более общий случай игры Ним был предложен Элиакимом Муром. В игре <math>Nim_i</math> игрокам разрешается брать предметы из максимум <math>i</math> кучек. Легко видеть, что обычная игра ним является <math>Nim_1</math>. Для решения необходимо записать размеры каждой кучки в двоичной системе счисления и просуммировать эти числа в <math>(i+1)</math>-ичной системе счисления без переносов разрядов. Если получилось число 0, то текущая позиция проигрышная, иначе — выигрышная и из неё есть ход в позицию с нулевой величиной.
Форкед-ним
Еще один вариант игры был предложен Матвеем Бернштейном. В нем можно произвольно разбивать любую кучку на две произвольные кучки вместо хода. Во всем остальном игра ведется по обычным правилам.
В кино и телевидении
- Эта игра служит метафорой происходящего в фильме «В прошлом году в Мариенбаде»[1].
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Гарднер М. Крестики-нолики. —М.: Мир, 1988. ISBN 5-03-001234-6.
- Шаблон:Статья
