Русская Википедия:Обратимая функция
Материал из Онлайн справочника
Обратимая функция — это функция, которая принимает каждое своё значение в единственной точке области определения.
Определение
Если функция <math>y = f(x)</math> такова, что для любого её значения <math>y_0</math> уравнение <math>f(x) = y_0</math> имеет относительно <math>x</math> единственный корень, то говорят, что функция <math>f</math> обратима.
Свойства
- Если функция <math>y = f(x)</math> определена и возрастает (или убывает) на промежутке <math>X</math> и областью её значений является промежуток <math>Y</math>, то у неё существует обратная функция, причём обратная функция определена и возрастает (или убывает) на <math>X</math>.[1]
- Если функция <math>y = f(x)</math> задана формулой, то для нахождения обратной к ней функции нужно решить уравнение <math>f(x) = y</math> относительно <math>x</math>, а потом поменять местами <math>x</math> и <math>y</math>.
- Если уравнение <math>f(x) = y</math> имеет более одного корня, то функции, обратной функции <math>y = f(x)</math>, не существует.
- Графики обратных функций симметричны относительно прямой <math>y = x</math>.
- Если <math>f</math> и <math>g</math> – функции, обратные друг другу, то <math>E(f) = D(g)</math>, <math>D(f) = E(g)</math>, где <math>D</math> и <math>E</math> – области определения и значений соответственно.
- Обратная функция может существовать только для обратимой функции.
Примеры
- Функция <math>y = x^2</math> не является обратимой на <math>\mathbb R</math>, но обратима при <math>x \geqslant 0</math> или <math>x \leqslant 0</math> .
- Функция <math>\sin x</math> не является обратимой на <math>\mathbb R</math>, т. к. одному значению функции соответствует бесконечное множество значений аргумента.
Примечания
См. также
- ↑ Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. — Москва: Просвещение, 1988. — С. 92. — ISBN 5-09-001292-X.
