Русская Википедия:Обратная матрица Дразина
Дразина обратная матрица — обобщение понятия обратной матрицы, предложенное Шаблон:Iw.
Пусть A — квадратная матрица. Под индексом матрицы A понимают наименьшее неотрицательное целое k, такое, что rank (Ak+1) = rank(Ak). Матрица, обратная по Дразину для матрицы A — это единственная матрица AD, удовлетворяющая условиям
- <math>A^{k+1}A^\text{D} = A^k,\quad A^\text{D}AA^\text{D} = A^\text{D},\quad AA^\text{D} = A^\text{D}A.</math>
Эта матрица не является псевдообратной в классическом смысле, поскольку в общем случае <math>A A^\text{D} A \neq A</math>.
Свойства
- Если матрица A обратима и её обратная обозначена <math>A^{-1}</math>, то <math>A^\text{D} = A^{-1}</math>.
- Матрица, обратная по Дразину, инвариантна по отношению к сопряжению. Если <math>A^\text{D}</math> — матрица, обратная по Дразину для матрицы <math>A</math>, то матрица <math>P A^\text{D} P^{-1}</math> — обратная по Дразину для матрицы <math>PAP^{-1}</math>.
- Проектор P, определённый как матрица, такая, что P2 = P, имеет индекс 1 (или 0), Для него матрица, обратная по Дразину, имеет вид PD = P.
- Если A — нильпотентная матрица (например, матрица сдвига), то <math>A^\text{D} = 0.</math>
Жорданова нормальная форма
Поскольку определение матрицы, обратной по Дразину, инвариантно относительно матричных сопряжений, записываемых как <math>A = P J P^{-1}</math>, где J — Жорданова нормальная форма, то <math>A^\text{D} = P J^\text{D} P^{-1} </math>. Матрица, обратная по Дразину, таким образом отображает обратимые Жордановы клетки в им обратные, а нильпотентные Жордановы клетки — в нулевые.
Литература
Ссылки
