Русская Википедия:Обратное отношение
В математике обратное отношение — это отношение, возникающее при изменении порядка элементов в отношении. То есть, если <math>X</math> и <math>Y</math> наборы и <math>L \subseteq X \times Y</math> это отношение из <math>X</math> в <math>Y,</math> то <math>L^{\operatorname{T}}</math> это отношение определено так, что <math>yL^{\operatorname{T}}x</math> тогда и только тогда, когда <math>xLy.</math> В обозначениях записи множеств,
<math>L^{\operatorname{T}} = \{ (y, x) \in Y \times X : (x, y) \in L \}.</math>
Обозначения аналогичны обозначениям обратной функции. Хотя многие функции не имеют обратного, однако каждое отношение имеет уникальное обратное. Унарная операция, которая отображает отношение в обратное отношение, является инволюцией. В качестве унарной операции обратное (иногда называемое транспозицией) коммутирует с операциями исчисления отношений, связанными с порядком, то есть коммутирует с объединением, пересечением и дополнением.
Поскольку отношение может быть представлено как логическая матрица, а она является транспонированием исходного, обратное отношение также называется транспонированным отношением.[1] Его также называют противоположным или двойственным исходному отношению,[2] или обратным исходному отношению,[3][4][5] или обратным отношением. <math>L^{\circ}</math> отношения <math>L.</math>
Другие обозначения для обратного отношения включают <math>L^{\operatorname{C}}, L^{-1}, \breve{L}, L^{\circ},</math> или <math>L^{\vee}.</math>
Характеристики
В моноиде внутренних отношений на множестве (при этом бинарная операция над отношениями является композицией отношений) обратное отношение не удовлетворяет определению обратного из теории групп, то есть если <math>L</math> является произвольным отношением на <math>X,</math> затем <math>L \circ L^{\operatorname{T}}</math>не равно тождественному отношению на <math>X</math> в общем. Обратное соотношение удовлетворяет аксиомам полугруппы с инволюцей: <math>\left(L^{\operatorname{T}}\right)^{\operatorname{T}} = L</math> и <math>(L \circ R)^{\operatorname{T}} = R^{\operatorname{T}} \circ L^{\operatorname{T}}.</math>[6]
Кроме того, полугруппа Шаблон:Нп3 на множестве также является частично упорядоченной структурой (с включением отношений как множеств) и фактически инволютивным кванталом.
В исчислении отношений преобразование (унарная операция взятия обратного отношения) коммутирует с другими бинарными операциями объединения и пересечения. Преобразование также коммутирует с унарной операцией дополнения, а также с взятием супремума и инфинума. Преобразование также совместимо с упорядочением отношений по включению.[1]
Инверсии
Если <math>I</math> представляет тождественное отношение, то отношение <math>R</math> может иметь обратное следующим образом: <math>R</math> называется
- Обратимое отношение справа
- Если существует отношение <math>X,</math> называемое правой обратной зависимостью <math>R,</math>удовлетворяющее <math>R \circ X = I.</math>
- Обратимое отношение слева
- Если существует отношение <math>Y,</math> называемое левой обратной зависимостью <math>R,</math> удовлетворяющее <math>Y \circ R = I.</math>
- Обратимое отношение
- Если оно обратимо слева и справа.
- Для обратимого однородного отношения <math>R,</math> все правые и левые обратные совпадают; этот уникальный набор называется инверсия (обратная зависимость) и обозначается <math>R^{-1}.</math> В этом случае, <math>R^{-1} = R^{\operatorname{T}}</math>.[1]
Обратное отношение функции
Функция обратима тогда и только тогда, когда её обратное отношение является функцией, и в этом случае обратное отношение является обратной функцией.
Обратное отношение функции <math>f : X \to Y</math> отношение <math>f^{-1} \subseteq Y \times X</math> определяется <math>\operatorname{graph}\, f^{-1} = \{ (y, x) \in Y \times X : y = f(x) \}.</math>
Это не обязательно функция: одно необходимое условие состоит в том, что <math>f</math> быть инъективным, так как иначе <math>f^{-1}</math> является многозначным . Это условие является достаточным для <math>f^{-1}</math> является частичной функцией, и ясно, что <math>f^{-1}</math> тогда является (суммарной) функцией тогда и только тогда, когда <math>f</math> является сюръективным . В этом случае, то есть если <math>f</math> биективен, <math>f^{-1}</math> можно назвать обратной функцией <math>f.</math>
Однако функция <math>g(x) = x^2</math> имеет обратное отношение <math>g^{-1}(x) = \pm \sqrt{x},</math> которая не является функцией, будучи многозначной.
Композиция с отношением
Используя композицию отношений, обратное может быть составлено с исходным отношением. Например, отношение подмножества, составленное из обратного отношения, всегда является универсальным отношением:
Теперь рассмотрим отношение принадлежности множества и его обратное.
<math>A \ni z \in B \Leftrightarrow z \in A \cap B \Leftrightarrow A \cap B \ne \empty.</math>
Таким образом <math>A \ni \in B \Leftrightarrow A \cap B \ne \empty .</math> Противоположный состав <math>\in \ni</math> является универсальным отношением.
Композиции используются для классификации отношений по типу: для отношения Q, когда тождественное отношение в диапазоне Q содержит Q T Q, тогда Q называется одновалентным . Когда отношение тождества на области определения Q содержится в QQ T, тогда Q называется полным . Когда Q одновалентно и тотально, то это функция . Когда Q T одновалентен, то Q называется инъективным . Когда Q T полон, Q называется сюръективным.
Примечания
