Русская Википедия:Однородный многочлен
Шаблон:Не путать Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую сумму степеней. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма — однородным многочленом любой степени от двух переменных.
Примеры
- <math>x^2+y^2</math> — однородный многочлен;
- <math>x^3+2xy^2</math> — однородный многочлен;
- <math>x^4+qxyz</math> — однородный многочлен;
- <math>x+yz</math> — неоднородный многочлен.
Вариации и обобщения
Пусть группа <math>G</math> действует на векторах из переменных. Многочлен <math>P(z)</math> называется обобщенно-однородным (относительно действия группы), если для любого элемента <math>g</math> группы <math>P(gz)\equiv hP(z)</math>, где множитель <math>h</math> зависит только от <math>g</math>. Величина (степень, класс, либо другая характеристика) множителя <math>h</math> называется степенью однородности многочлена.
- Например, любой однородный многочлен является обобщённо-однородным относительно диагонального действия алгебраического тора:
- <math>g\in \mathbb C\setminus\{0\} : g(z_1,\dots,\,z_n)=(gz_1,\dots,\,gz_n),</math>
- поскольку
- <math>P(gz)=\sum_{|\alpha|=k} c_\alpha (gz)^\alpha=g^k \sum_{|\alpha|=k} c_\alpha (z)^\alpha=g^kP(z).</math>
- В данном случае степень однородности многочлена <math>k</math> совпадает с его степенью.
