Русская Википедия:Одноэлектронное приближение
Одноэлектронное приближение — приближённый метод нахождения волновых функций и энергетических состояний квантовой системы со многими электронами.
В основе одноэлектронного приближения лежит предположение, что квантовую систему можно описать как систему отдельных электронов, движущихся в усреднённом потенциальном поле, которое учитывает взаимодействие как с ядрами атомов, так и с другими электронами. Волновая функция многоэлектронной системы в одноэлектронном приближении выбирается в виде детерминанта Слэтера определённого набора функций, зависящих от координат одной частицы. Эти функции являются собственными функциями одноэлектронного гамильтониана с усреднённым потенциалом.
В идеале потенциал, в котором движутся электроны, должен быть самосогласованным. Чтобы достичь этой цели, используют итерационную процедуру, например, метод Хартри-Фока или его релятивистское обобщение — приближение Хартри-Фока-Дирака. Однако часто систему описывают модельным потенциалом.
Числа заполнения
Одноэлектронный гамильтониан в общем случае имеет вид
- <math> \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V(\mathbf{r}) </math>,
где <math> V(\mathbf{r}) </math> — усреднённый потенциал. Спектр волновых функций гамильтониана определяется решениями уравнения
- <math> \hat{H} \psi_i = E_i \psi_i </math>,
где <math>i</math> — индекс для нумерации этих функций. Для построения волновой функции многоэлектронной системы с <math>N</math> электронами можно выбрать <math>N</math> любых функций или <math>N</math> суперпозиций этих функций, однако, учитывая принцип запрета Паули, все они должны быть разными.
Основному состоянию квантовой системы соответствует набор из <math>N</math> функций, для которых одноэлектронные энергии <math> E_i </math> минимальны. Полная энергия основного состояния системы определяется суммой одноэлектронных энергий
- <math> E = \sum_{i= 1}^N E_i </math>.
Волновая функция многоэлектронной системы конструируется из волновых функций <math> \psi_i </math> с учётом требования антисимметричности по перестановкам. В основном это делается с использованием детерминанта Слэтера. Используя операторы рождения, эту волновую функцию можно представить в виде
- <math> \psi = \hat{a}_1^\dagger \hat{a}_2^\dagger \ldots \hat{a}_N^\dagger |0\rangle </math>.
Волновую функцию возбуждённого состояния можно построить, выбрав вместо одной из собственных функций одноэлектронного гамильтониана с наименьшей энергией любую другую функцию.
В общем, если выбрать произвольный набор одноэлектронных волновых функций, то волновую функцию многоэлектронной системы можно характеризовать набором индексов одноэлектронных функций: <math> |i_1, i_2, \ldots, i_n \rangle </math>, или же считать, что некоторые из одноэлектронных состояний заполнены, а некоторые нет. Присваивая заполненным состояниям число 1, а незаполненным — 0, можно построить бесконечную цепочку единиц и нулей, характеризующую состояние многоэлектронной системы. Такая цепочка называется представлением чисел заполнения.
В статистической физике волновая функция многоэлектронной системы не может быть определена точно. Состояние системы смешанное и описывается матрицей плотности, которая удовлетворяет распределению Ферми-Дирака.
Значения
Метод одноэлектронного приближения широко используется в квантовой химии и теории твёрдого тела. В частности, на нём основывается зонная теория. Шаблон:Численные методы в зонной теории Шаблон:Physics-stub Шаблон:Нет ссылок
