Опера́тор Лапла́са — Бельтра́ми (называется иногда оператором Бельтра́ми — Лапла́са или просто оператором Бельтра́ми) — дифференциальный оператор второго порядка, действующий в пространстве гладких (или аналитических) функций на римановом многообразии <math>M</math>.
В координатах <math>x_1, \ldots, x_n,</math> где <math>n=\dim M,</math> оператор Лапласа — Бельтрами задается следующим образом. Пусть <math>(g_{ij})</math> — матрица метрического тензора риманова многообразия, <math>(g^{ij})</math> — обратная матрица и <math>g = \det(g_{ij})</math>, тогда оператор Лапласа — Бельтрами имеет вид
- <math> - \sum_{i,j} \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial x_i} \biggl(g^{ij}\sqrt{g} \frac{\partial}{\partial x_j}\biggr). \qquad (*)</math>
Примеры
- В случае, когда <math>M</math> — область в евклидовом пространстве со стандартной метрикой <math>(g_{ij})=(\delta_{ij})</math> — единичная матрица, оператор Лапласа — Бельтрами (*) превращается (с точностью до знака) в оператор Лапласа.
- Пусть <math>\dim M=2</math> и метрический тензор имеет вид <math>ds^2= E(x,y)\,dx^2 + 2F(x,y)\,dxdy + G(x,y)\,dy^2,</math> тогда формула (*) принимает вид
- <math>\frac{\partial}{\partial x} \biggl(\frac{F\frac{\partial}{\partial y}-G\frac{\partial}{\partial x}}{\sqrt{EG-F^2}}\biggr) + \frac{\partial}{\partial y} \biggl(\frac{F\frac{\partial}{\partial x}-E\frac{\partial}{\partial y}}{\sqrt{EG-F^2}}\biggr). \qquad (**)</math>
- Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка <math>Lf=0,</math> где оператор <math>L</math> задан формулой (**), разрешимо, если функции <math>E,F,G</math> аналитические или достаточно гладкие. Этот факт используется для доказательства существования локальных изометрических (конформных) координат на поверхности <math>M</math>, т. е. доказательства того, что каждое двумерное риманово многообразие локально конформно эквивалентно евклидовой плоскости.[1]
Литература
- Розенблюм Г. В., Соломяк М. З., Шубин М. А. Спектральная теория дифференциальных операторов, — Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 64, ВИНИТИ, М., 1989.
- Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, — М., Мир, 1984.
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Любое издание.
Примечания
Шаблон:Примечания
Шаблон:Дифференциальное исчисление
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|
- ↑ Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), гл. 2, параграф 13.