Русская Википедия:Основания геометрии
Основания геометрии — область математики, изучающая аксиоматические системы евклидовой геометрии, а также различных неевклидовых геометрий. Основные вопросы состоят в полноте, независимости и непротиворечивости аксиоматических систем. Основания геометрии также связаны с вопросом преподавания геометрии.
История
Основания геометрии стали изучаться после появления геометрии Лобачевского. Первой задачей стала формализация и пополнение системы аксиом евклидовой геометрии.
Аксиоматика Евклида не была полной, и в доказательствах Евклид пользовался неявно аксиомами, которые не представлены в его списке аксиом. Например, Евклид использовал без доказательства то, что две окружности с центрами на расстоянии их радиуса пересекаются в двух точках.
Из неявно используемых аксиом можно назвать следующие:
Родоначальником оснований геометрии следует считать Морица Паша. В своей книге «Vorlesungen über neuere Geometrie», опубликованной в 1882 году, Паш создал формальные системы, свободные от каких-либо интуитивных влияний. Он впервые использовал так называемое «неопределяемое понятие» (Шаблон:Lang-de) в дополнение к аксиомами (Шаблон:Lang-de). Работы Паша повлияли на многих других математиков, в частности, Гильберта, Пеано и Пьери.
Аксиомы Евклида
Аксиоматика Евклида — первая и не полная система. Она состояла из определений Шаблон:Начало цитаты
- Точка есть то, что не имеет частей. (Шаблон:Lang-el2 — букв. «Точка есть то, часть чего ничто»)
- Линия — длина без ширины.
- Края же линии — точки.
- Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. (Шаблон:Lang-el2)
- Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
- Края же поверхности — линии.
- Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.
Шаблон:Конец цитаты и постулатов Шаблон:Начало цитаты
- От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
- Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
- Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
- Все прямые углы равны между собой.
- Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Полные системы аксиом
- Аксиоматика Гильберта — самая популярная и наиболее консервативная полная система аксиом евклидовой геометрии, построенная на основе аксиом Евклида. Состоит из 20 аксиом и поделена на 5 групп.
- Аксиоматика Тарского.
- Аксиоматика Вейля — оперирует неопределяемыми понятиями точки и свободного вектора. Прямая и плоскость определяются как множества точек.
- Аксиомы Биркгофа — система аксиом, использующая вещественные числа как готовый блок, и как результат очень компактная, всего 4 аксиомы.
- Аксиоматика Бахмана — построение геометрии на основе понятия симметрии.[1]
- Аксиоматика Александрова — система аксиом, схожая с Гильбертовской, но без чрезмерной формализации.
Примечания
Литература
