Русская Википедия:Основная теорема аффинной геометрии
Основна́я теоре́ма а́ффинной геоме́трии — обобщение теоремы евклидовой геометрии о том, что любое биективное преобразование евклидова пространства размерности не менее 2 является аффинным, на случай произвольных аффинных пространств и произвольных полуаффиных отображений между ними. Теорема имеет довольно простую формулировку, однако её доказательство длинно и неочевидно.Шаблон:Sfn
Формулировка
Пусть <math>V</math> — векторное пространство над телом <math>K</math>, <math>V'</math> — векторное пространство над телом <math>K'</math>. Определим полулинейное отображение как отображение <math>f: V \rightarrow V'</math>, удовлетворяющее свойству <math>f(\lambda x + \mu y) = \phi(\lambda)f(x)+\phi(\mu)f(y) \ \forall x, y \in V \ \forall \lambda, \mu \in K</math>, где <math>\phi</math> — изоморфизм тел <math>K</math> и <math>K'</math>. Пусть <math>S</math> и <math>S'</math> — аффинные пространства, ассоциированные с <math>V</math> и <math>V'</math> соответственно. Определим полуаффинное отображение как отображение <math>F: S \rightarrow S'</math>, удовлетворяющее свойству <math>F(A)-F(B)=f(A-B) \ \forall A, B \in S</math>, где <math>f: V \rightarrow V'</math> — полулинейное отображение.
Основная теорема аффинной геометрии: пусть некоторое отображение <math>F: S \rightarrow S'</math> удовлетворяет следующим условиям:
- <math>\operatorname{dim}{\texttt< F(S) \texttt>} \geq 2</math>
- Если <math>K, K' \neq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>, то образ любой прямой прямая или точка
- Если <math>K = K' = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>, то образ любой плоскости плоскость, прямая или точка
Тогда <math>F</math> — полуаффинное отображение.Шаблон:Sfn
Доказательство
Лемма 1. Пусть <math>S</math> и <math>S'</math> аффинные пространства ассоциированные с <math>V</math> и <math>V'</math> над телами <math>K</math> и <math>K'</math> соответственно, <math>\operatorname{dim}{S} \geq 2</math>, <math>F: S \rightarrow S'</math> — инъективное отображение, переводящее прямые в прямые и сохраняющее параллельность. Тогда <math>F</math> — полуаффинное отображение.Шаблон:Sfn
Доказательство.
1). Корректность определения <math>f</math>
Чтобы <math>F</math> было полуаффинным, нужно, чтобы отображение <math>f: V \rightarrow V'</math>, определённое как <math>f(\overrightarrow{AB}) = F(B) - F(A) \ \forall A, B \in S</math>, было полулинейным. Для начала необходимо доказать корректность этого определения. Для этого нужно доказать, что равные закреплённые векторы переходят в равные закреплённые векторы.
Отметим, что вследствие инъективности, разные прямые переходят в разные прямые.
Пусть <math>\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \neq \overrightarrow{0}</math>. Тогда <math>\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} \Rightarrow \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}</math>
Пусть <math>F(A) = A', ..., F(D) = D'</math>. Если <math>A, B, C, D</math> не лежат на одной прямой, то <math>AB</math> и <math>CD</math> переходят в различные параллельные прямые, <math>BD</math> и <math>AC</math> переходят в различные параллельные прямые. Пусть <math>\overrightarrow{C'D'} = \lambda \overrightarrow{A'B'}</math>, <math>\overrightarrow{B'D'} = \mu \overrightarrow{A'C'}</math>. Тогда <math>\overrightarrow{0} = \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{B'D'} + \overrightarrow{D'C'} + \overrightarrow{C'A'} = \overrightarrow{A'B'} + \mu \overrightarrow{A'C'} - \lambda \overrightarrow{A'B'} - \overrightarrow{A'C'} = (1 - \lambda) \overrightarrow{A'B'} + (\mu - 1) \overrightarrow{A'C'}</math>. Но <math>A', B', C'</math> не лежат на одной прямой <math>\Rightarrow \overrightarrow{A'B'}</math> и <math>\overrightarrow{A'C'}</math> — неколлинеарны <math>\Rightarrow \lambda = 1 \Rightarrow \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{A'B'}</math>
Если <math>A, B, C, D</math> лежат на одной прямой, то возьмём некоторую точку <math>G \in S \backslash \texttt< A, B \texttt></math> и <math>H = G + \overrightarrow{AB}</math>. Тогда <math>\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{CD}</math> и <math>f</math> — корректно определено.
2). Аддитивность <math>f</math>
<math>f(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})=f(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=f(\overrightarrow{AC})=F(C)-F(A)=F(C)-F(B)+F(B)-F(A)=f(\overrightarrow{AB})+f(\overrightarrow{BC})=f(\overrightarrow{u})+f(\overrightarrow{v})</math>
3). Корректность определения <math>\phi</math>
Определим <math>\phi: K \rightarrow K'</math> как такое отображение, для которого <math>f(\lambda \overrightarrow{u})=\phi(\lambda) f(\overrightarrow{u}) \ \forall \lambda \in K \forall \overrightarrow{u} \in V</math> и докажем корректность его определения.
Пусть <math>\overrightarrow{u} \in V</math> ненулевой вектор, <math>\lambda \in K</math>, <math>\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}, C = A + \lambda \overrightarrow{u}</math>. Тогда <math>A, B, C</math> — лежат на одной прямой <math>F(A), F(B), F(C)</math> — тоже лежат на одной прямой <math>f(\lambda \overrightarrow{u}) = \alpha f(\overrightarrow{u})</math>. Осталось доказать, что <math>\alpha</math> зависит только от <math>\lambda</math>.
Возьмём два ненулевых вектора <math>\overrightarrow{u}</math> и <math>\overrightarrow{v}</math>. Пусть <math>f(\lambda \overrightarrow{u}) = \alpha f(\overrightarrow{u}), f(\lambda \overrightarrow{v}) = \beta f(\overrightarrow{b})</math>.
Если <math>\overrightarrow{u}</math> и <math>\overrightarrow{v}</math> — неколлинеарны, то их образы при <math>f</math> тоже неколлинеарны (иначе образы двух несовпадающих прямых, проходящих через <math>A</math> с направляющими <math>\overrightarrow{u}</math> и <math>\overrightarrow{v}</math> совпали бы, что невозможно в силу инъективности <math>F</math>). Пусть <math>f(\lambda (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})) = \gamma f(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})</math>. Тогда <math>f(\lambda (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})) = \alpha f(\overrightarrow{u}) + \beta f(\overrightarrow{v}) = \gamma f(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = \gamma f(\overrightarrow{u}) + \gamma f(\overrightarrow{v})) \Rightarrow \alpha = \gamma = \beta</math>.
Если <math>\overrightarrow{u}</math> и <math>\overrightarrow{v}</math> — коллинеарны, то выберем вектор <math>\overrightarrow{w}</math> линейно независимый с ними. Пусть <math>f(\lambda \overrightarrow{w}) = \gamma f(\overrightarrow{w})</math>. Тогда по предыдущему утверждению <math>\alpha = \gamma = \beta</math> и отображение <math>\phi</math> корректно определено.
4). <math>\phi</math> — изоморфизм тел
Пусть <math>\overrightarrow{u}</math> — ненулевой вектор. Тогда <math>f((\lambda + \mu)\overrightarrow{u}) = \phi(\lambda + \mu)f(\overrightarrow{u}) = f(\lambda \overrightarrow{u}) + f(\mu \overrightarrow{u}) = (\phi(\lambda) + \phi(\mu))f(\overrightarrow{u})</math>. Образ ненулевого вектора при <math>f</math> ненулевой, а значит, <math>\phi(\lambda + \mu)=\phi(\lambda)+\phi(\mu)</math>.
<math>f((\lambda\mu)\overrightarrow{u}) = \phi(\lambda\mu)f(\overrightarrow{u}) = \phi(\lambda)f(\mu\overrightarrow{u}) = \phi(\lambda)\phi(\mu)f(\overrightarrow{u})</math> и <math>\phi(\lambda\mu)=\phi(\lambda)+phi(\mu)</math> так как образ ненулевого вектора ненулевой.
Пусть <math>g(\lambda) = A + \lambda \overrightarrow{u}</math> — биекция <math>K</math> на <math>D = A + \overrightarrow{u}</math>, ограничение <math>F</math> на <math>D</math> — биекция в <math>F(D)</math>. Тогда <math>F(g(\lambda)) = F(A) + \phi(\lambda) f(\overrightarrow{u})</math> — биекция <math>K</math> на <math>F(D)</math>, из чего следует, что <math>\phi</math> — биекция.
Лемма 2 (геометрическая характеризация аффинных подпространств). Пусть <math>K</math> имеет не менее трёх элементов. Если подмножество <math>S</math> аффинного пространства <math>S'</math> ассоциированного с векторным пространством <math>V</math> над <math>K</math> вместе с любыми двумя точками <math>A, B</math> включает в себя <math>\texttt< A, B \texttt></math>, то это подмножество — аффинное подпространство в <math>S</math>.
Доказательство. Для доказательства этой леммы необходимо доказать, что <math>E = \{\overrightarrow{AB} | A, B \in S\}</math> — подпространство в <math>V</math>.
<math>\overrightarrow{v} \in E \Rightarrow \exists A, B \in S: \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB} \Rightarrow \texttt< A, B \texttt> \subset S \Rightarrow A + \lambda \overrightarrow{AB} = C \in S \Rightarrow \overrightarrow{AC} = \lambda\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{v} \in E</math>
Докажем, что <math>\forall A, B, C \in S: A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \in S</math>. Возьмём <math>k \in K \backslash \{0, 1\}</math>. Так как <math>\texttt< A, B \texttt> \subset S, \texttt< A, C \texttt> \subset S</math>, то <math>B' = A + k^{-1} \overrightarrow{AB} \in S, C' = A + (1-k)^{-1} \overrightarrow{AC} \in S</math>. Тогда <math>C' + k\overrightarrow{C'B'} = A + \overrightarrow{AC'} + k\overrightarrow{C'B'} = A + (1 - k)^{-1}\overrightarrow{AC} + kk^{-1} \overrightarrow{AB} - k(1-k)^{-1} \overrightarrow{AC} = A + \overrightarrow{AB} + (1 - k)^{-1}(1 - k)\overrightarrow{AC} = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \in S</math>.
Пусть <math>\overrightarrow{v}, \overrightarrow{u} \in E \Rightarrow \exists A, B, C, D \in S: \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{u}=\overrightarrow{CD}</math>. Тогда <math>G = C + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CA} \in S, H = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AG} \in S</math>. <math>\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + C + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CA} - A = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \in E \Rightarrow E</math> — подпространство в <math>V</math>.
Лемма 2 для <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.</math> Если подмножество аффинного пространства <math>S</math> ассоциированного с векторным пространством <math>V</math> над <math>K</math> вместе с любыми тремя точками <math>A, B, C</math> включает в себя <math>\texttt< A, B, C \texttt></math>, то это подмножество — аффинное подпространство в <math>S</math>.Шаблон:Sfn
Доказательство.
<math>\overrightarrow{v} \in E \Rightarrow 0\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} \in E, 1\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \in E</math>
Пусть <math>\forall A, B, C \in S \Rightarrow A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \in \texttt< A, B, C \texttt> \subset S \Rightarrow \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \in E</math>. Далее аналогично предыдущему доказательству.
Доказательство основной теоремы аффинной геометрии.
Основная идея доказательства теоремы для общего случая — факторизация отображения <math>F</math> в композицию инъективной и сюръективной составляющих и доказательство полуаффинности каждой в отдельности. Далее везде образы точек <math>A, B, C, ...</math> при <math>F</math> соответственно <math>A', B', C', ...</math>.
Для <math>K \neq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>
1). Образ подпространства <math>R</math> в <math>S</math> при <math>F</math> — подпространство в <math>S'</math>
Пусть <math>F(R) = R'</math>. Возьмём произвольные две точки <math>A', B' \in R'</math> и их прообразы <math>A, B \in R</math>. Тогда <math>\texttt< A', B' \texttt> \subset F(\texttt< A, B \texttt>) \subset R' \Rightarrow</math> по лемме 2 <math>R'</math> — подпространство в <math>R</math>.
2). <math>\forall A, B \in S \ F(\texttt< A, B \texttt>) = \texttt< A', B' \texttt></math>
Если <math>A = B</math>, то <math>A' = B'</math> и <math>F(\texttt< A, B \texttt>) = F(A) = A' = F(B) = B' = \texttt< A', B' \texttt></math>
Если <math>A \neq B</math> и <math>A' \neq B'</math>, то <math>\texttt< A, B \texttt></math> — прямая, и образом должна быть прямая, проходящая через <math>A', B'</math>, то есть <math>\texttt< A', B' \texttt></math>
Если <math>A \neq B</math> и <math>A' = B'</math>, то предположим, что есть точка <math>C \in \texttt< A, B \texttt></math> такая, что <math>C' \neq A'</math>. Так как <math>\operatorname{dim}{F(S)} \geq 2</math> можно построить параллелограмм <math>A'C'H'G'</math>. <math>F(\texttt< A, B \texttt>) = \texttt< A', C' \texttt> \Rightarrow G \notin \texttt< A, B \texttt></math> (<math>G</math> любой прообраз <math>G'</math>). По (1) подпространства переходят в подпространства <math>\texttt< A', C', G' \texttt> \subset F(\texttt< A, C, G \texttt>) \Rightarrow</math> в <math>\texttt< A', C', G' \texttt></math> есть прообраз <math>H'</math> (обозначим его <math></math>). Тогда <math>CH \parallel AG \parallel BG</math>, так как если бы эти прямые пересекались, то у одной точки было бы 2 образа. Но <math>AG</math> и <math>BG</math> пересекаются в точке <math>G</math>, а значит, не могут быть параллельными. Противоречие. Значит все точки <math>\texttt< A, B \texttt></math> переходят в одну и <math>F(\texttt< A, B \texttt>) = F(A) = A' = F(B) = B' = \texttt< A', B' \texttt></math>
3). Прообраз подпространства <math>R'</math> в <math>S'</math> при <math>F</math> — подпространство в <math>S</math> или пустое множество.
Пусть <math>R = F^{-1}(R')</math> непусто, <math>A, B \in R</math>. По (2) <math>F(\texttt< A, B \texttt>) = \texttt< A', B' \texttt> \subset R'</math>, так как <math>R'</math> — подпространство <math>S'</math>. Тогда <math>\texttt< A, B \texttt> \subset R \Rightarrow R</math> — подпространство по лемме 2.
Для <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>
1). Образ подпространства <math>R</math> в <math>S</math> при <math>F</math> — подпространство в <math>S'</math>
Пусть <math>F(R) = R'</math>. Возьмём произвольные три точки <math>A', B', C' \in R'</math> и их прообразы <math>A, B \in R</math>. Тогда <math>\texttt< A', B', C' \texttt> \subset F(\texttt< A, B, C \texttt>) \subset R' \Rightarrow</math> по лемме 2 <math>R'</math> — подпространство в <math>R</math>.
2). <math>\forall A, B, C \in S \ F(\texttt< A, B, C \texttt>) = \texttt< A', B', C' \texttt></math>
Если <math>A = B = C</math>, то <math>A' = B' = C'</math> и <math>F(\texttt< A, B, C \texttt>) = F(A) = A' = F(B) = B' = F(C) = C' = \texttt< A', B', C' \texttt></math>
Если <math>A = B \neq C</math>, то <math>\texttt< A, B, C \texttt></math> — прямая <math>\Rightarrow \texttt< A, B, C \texttt> = \{A, C\} \Rightarrow F(\texttt< A, B, C \texttt>) = \{A', C'\} = \texttt< A', B', C' \texttt></math>
Если <math>A \neq B \neq C</math> и <math>A' \neq B' \neq C'</math>, то <math>\texttt< A, B, C \texttt></math> переходит в плоскость, проходящую через <math>A', B', C'</math>, то есть <math>F(\texttt< A, B, C \texttt>) = \texttt< A', B', C' \texttt></math>
Если <math>A \neq B \neq C</math> и <math>A' = B' \neq C'</math>, то <math>\texttt< A, B, C \texttt></math> переходит в прямую, проходящую через <math>A', B', C'</math>, то есть <math>F(\texttt< A, B, C \texttt>) = \texttt< A', B', C' \texttt></math>
Если <math>A \neq B \neq C</math> и <math>A' = B' = C'</math>, то <math>\texttt< A, B, C \texttt></math> переходит в прямую или точку. Предположим, что в прямую, то есть для <math>D=A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \ F(D)=D' \neq A'</math>. Так как <math>\operatorname{dim}{F(S)} \geq 2</math> выберем точку <math>G'</math> так, чтобы она не совпадала ни с <math>A', D'</math>. Возьмём её прообраз <math>G</math>. В плоскости <math>ABG</math> есть ещё одна точка. Назовём её <math>H</math>. Плоскость <math>ABG</math> переходит в плоскость, из-за чего <math>H'</math> это новая точка. Плоскость <math>ABC</math> состоит из двух параллельных <math>GH</math> прямых, одна из которых переходит в точку <math>A'</math>, а другая в прямую. Возьмём ту, которая переходит в точку. Тогда вместе с <math>GH</math> они образуют плоскость, которая переходит в множество из трёх точек. Противоречие. Значит <math>\texttt< A, B, C \texttt></math> переходит в точку и <math>F(\texttt< A, B, C \texttt>) = F(A) = A' = F(B) = B' = F(C) = C' = \texttt< A', B', C' \texttt></math>.
3). Прообраз подпространства <math>R'</math> в <math>S'</math> при <math>F</math> — подпространство в <math>S</math> или пустое множество.
Пусть <math>R = F^{-1}(R')</math> непусто, <math>A, B, C \in R</math>. По (2) <math>F(\texttt< A, B, C \texttt>) = \texttt< A', B', C' \texttt> \subset R'</math>, так как <math>R'</math> — подпространство <math>S'</math>. Тогда <math>\texttt< A, B, C \texttt> \subset R \Rightarrow R</math> — подпространство по лемме 2.
Для любого тела
4). <math>X</math> — подмножество <math>S</math>. Тогда <math>F(\texttt< X \texttt>)=\texttt< F(X) \texttt></math>
<math>X \subset \texttt< X \texttt> \Rightarrow F(X) \subset F(\texttt< X \texttt>).</math> Но по (1) <math>F(\texttt< X \texttt>)</math> — аффинное подпространство <math>\Rightarrow \texttt< F(x) \texttt> \subset F(\texttt< X \texttt>)</math>.
<math>F(X) \subset \texttt< F(X) \texttt> \Rightarrow X \subset F^{-1}(\texttt< F(X) \texttt>)</math>. По (3) <math>F^{-1}(\texttt< F(X) \texttt>)</math> — аффинное подпространство <math>\Rightarrow \texttt< X \texttt> \subset F^{-1}(\texttt< F(X) \texttt>) \Rightarrow F(\texttt< X \texttt>) \subset \texttt< F(X) \texttt></math>
5). Образы параллельных прямых либо совпадают, либо не пересекаются
Обозначим эти прямые как <math>L_1, L_2</math>, их образы <math>L_1', L_2'</math>. Пусть <math>L_1'</math> и <math>L_2'</math> пересекаются. Тогда на каждой из прямой <math>L_1</math> и <math>L_2</math> есть точка <math>A_1</math> и <math>A_2</math> соответственно такие, что их образ есть эта точка пересечения. Выберем на <math>L_1</math> и <math>L_2</math> по ещё одной точке <math>B_1</math> и <math>B_2</math> соответственно. Тогда <math>L_1' = F(L_1) = F(\texttt< A_1, B_1 \texttt>) = \texttt< A_1', B_1' \texttt> = \texttt< A_1', A_2', B_1' \texttt> = F(\texttt< A_1, A_2, B_1 \texttt>) = F(\texttt< A_1, A_2, B_1, B_2 \texttt>) = F(\texttt< A_1, A_2, B_2 \texttt>) = \texttt< A_1', A_2', B_2' \texttt> = \texttt< A_2', B_2' \texttt> = F(\texttt< A_2, B_2 \texttt>) = F(L_2) = L_2'</math>
6). Пусть образы параллельных прямых не имеют общих точек. Тогда это либо параллельные прямые, либо точки
Возьмём две различные точки <math>A, B \in L_1</math> и точку <math>C \in L_2</math>. Тогда <math>F(\texttt< L_1, L_2 \texttt>) = F(\texttt< A, B, C \texttt>) = \texttt< L_1', L_2' \texttt> = \texttt< A', B', C' \texttt> \Rightarrow L_1'</math> и <math>L_2'</math> лежат в одной плоскости.
Пусть <math>L_1'</math> — прямая, тогда <math>\texttt< A', B', C' \texttt></math> имеет размерность <math>2</math>. Пусть <math>L_2'</math> — точка, тогда возьмём ещё одну точку <math>D \neq C</math> на прямой <math>L_2</math> и <math>\texttt< A', B', C' \texttt> = F(\texttt< A, B, C \texttt>) = F(\texttt< A, C, D \texttt>) = \texttt< A', C', D' \texttt> = \texttt< A', C'\texttt></math>, то есть размерность <math>\texttt< A', B', C' \texttt></math> меньше <math>2</math>. Противоречие. Значит <math>L_1', L_2'</math> либо оба прямые, либо оба точки, причём если это прямые, то параллельные, так как они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
7). Все непустые прообразы точек имеют одно и то же направляющее подпространство
Пусть <math>A', B'</math> разные точки <math>S'</math> с непустым прообразом. Обозначим эти прообразы <math>A^*, B^*</math>. По (3) это аффинные подпространства, а значит, у них есть направляющие подпространства (обозначим <math>E</math> и <math>W</math> соответственно). Пусть <math>\overrightarrow{v} \in E</math>, <math>\overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0}</math>. Возьмём некоторую точку <math>A_1 \in A^*</math> и <math>A_2 = A_1 + \overrightarrow{v}</math>. Так же возьмём <math>B_1 \in B^*</math> и <math>B_2 = B_1 + \overrightarrow{v}</math>. <math>A_2 \in A^* \Rightarrow \texttt< A_1, A_2 \texttt> \subset A^* \Rightarrow F(\texttt< A_1, A_2 \texttt>) = \{A\}</math>. Прямая <math>\texttt< A_1, A_2 \texttt></math> параллельна <math>\texttt< B_1, B_2 \texttt> \Rightarrow F(\texttt< B_1, B_2 \texttt>) = \{B\} \Rightarrow \texttt< B_1, B_2 \texttt> \subset B^* \Rightarrow \overrightarrow{v} \in W \Rightarrow E \subset W</math>. Поменяв местами <math>E</math> и <math>W</math> получаем <math>W \subset E</math>, а значит <math>E = W</math>.
8). Сюръективная составляющая F — аффинное отображение
Разложим <math>F</math> на инъективную и сюръективную составляющие <math>F = h \circ g</math>. По определению сюръективной составляющей <math>g: S \rightarrow S/\sim</math>, где <math>\sim</math> отношение эквивалентности, определённое как <math>A\sim B \Leftrightarrow F(A)=F(B)</math>, <math>g</math> — проекция множества в фактормножество. Обозначим за <math>W</math> направляющее подпространство непустых прообразов при <math>F</math> точек. Тогда <math>A\sim B \Leftrightarrow F(A)=F(B) \Leftrightarrow A \in F^{-1}(F(B)) \Leftrightarrow A \in B + W \Leftrightarrow A - B \in W</math>, что совпадает с определением отношения эквивалентности при построение факторпространства аффинного пространства, а значит, <math>S/\sim = S/W</math> и проекция <math>g</math> является аффинным отображением.
9). Инъективная составляющая F — полуаффинное отображение
Пусть <math>L</math> — некоторая прямая в <math>S/W</math>. Так как <math>g</math> — аффинно, то её прообраз <math>L^*</math> при <math>g</math> подпространство в <math>S</math>. Возьмём две различные точки <math>A, B \in L</math> и некоторые точки <math>A, B</math> из их прообразов. Тогда <math>g(\texttt< A, B \texttt>) = \texttt< A, B \texttt></math>. В свою очередь <math>F(\texttt< A, B \texttt>) = h(g(\texttt< A, B \texttt>)) = h(\texttt< A, B \texttt>)</math> либо прямая, либо точка. Но если бы это была точка, это бы противоречило инъективности <math>h</math>, а значит, это прямая.
Пусть <math>L_1, L_2</math> — некоторые параллельные прямые в <math>S/W</math>. Аналогично предыдущим выкладкам берём точки <math>A_1, B_1, A_2, B_2 \in S</math> такие, что <math>g(\texttt< A_1, B_1 \texttt>) = L_1, g(\texttt< A_2, B_2 \texttt>) = L_2</math>. Но <math>F(\texttt< A_i, B_i \texttt>) = h(g(\texttt< A_i, B_i \texttt>)) = h(L_i)</math> либо совпадают, либо параллельны, либо точки. Первый и третий случай противоречат инъективности <math>h</math>, что означает, что они параллельны.
Если <math>S/W</math> одна точка, то тогда <math>F(S)=h(g(S))=h(S/W)</math> одна точка. Если <math>S/W</math> — прямая, то <math>F(S)=h(g(S))=h(S/W)</math> прямая, так как <math>h</math> переводит прямые в прямые. Значит, <math>\operatorname{dim}{S/W} \geq 2</math>.
Все условия леммы 1 выполнены, а значит, <math>h</math> — полуаффинное отображение.
10). Основная теорема аффинной геометрии
Любое аффинное отображение полуаффинное, следовательно, <math>g</math> — полуаффинно. Композиция полуаффинных отображений полуаффинно, а значит, <math>F=h \circ g</math> — полуаффинно.
Вариации и обобщения
- Классической основной теоремой аффинной геометрии называют следствие приведённой выше теоремы для евклидовых пространств. Она формулируется так:
- Биективное отображение евклидова пространства размерности не менее 2 в себя, переводящее прямые в прямые, является аффинным преобразованием.Шаблон:Sfn
- Этот факт следует из того, что полуаффинные отображения между пространствами над полем <math>\mathbb{R}</math> являются аффинными, так как на <math>\mathbb{R}</math> есть только тривиальный автоморфизм.
- Более общий случай: если тела, над которыми определены пространства, имеют только тривиальный автоморфизм, то везде в формулировке можно заменить термин полуаффинное отображение на аффинное отображение.
- Теорема верна и в обратную сторону, доказательство этого сводится к свойству полулинейных отображений, гласящему, что подпространства переходят в подпространство. Таким образом, теорема устанавливает эквивалентность двух определений полуаффинного отображения.
- Если в формулировке дополнительно потребовать сюръективность <math>F</math>, конечномерность <math>S</math> и <math>S'</math>, а так же совпадение их размерностей, то в случае <math>K, K' \neq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> условие того, что образ прямой прямая или точка, можно ослабить до 3 коллинеарные точки переходят в 3 коллинеарные точки.Шаблон:Sfn
Лемма. Любая точка конечномерного аффинного пространства над телом отличным от <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> лежит на некоторой прямой, проходящей через не общие точки любых пересекающихся прямой и гиперплоскости (либо это и есть эта точка пересечения).
Доказательство. Возьмём гиперплоскость <math>\texttt< A, A_1, ..., A_{n-1} \texttt></math> и прямую <math>\texttt< A, A_n \texttt></math>. Тогда любая точка <math>X</math> из пространства представима в виде <math>X = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}, B \in \texttt< A, A_1, ..., A_{n-1} \texttt>, C \in \texttt< A, A_n \texttt></math>. Аналогично лемме 2 из доказательства основной теоремы аффинной геометрии возьмём <math>k \in K \backslash \{0, 1\}</math>, <math>B' = A + k^{-1} \overrightarrow{AB}, C' = A + (1-k)^{-1} \overrightarrow{AC}</math> и <math>X \in \texttt< B', C' \texttt></math>.
Основное доказательство.
Предположим, что есть некоторая прямая <math>L</math>, которая не переходит в прямую. Но по условию коллинеарные точки переходят в коллинеарные, что означает, что есть некоторая прямая <math>L'</math>, в которой лежит образ <math>L</math>. По предположению есть такая точка <math>C' \in L'</math>, что точка её прообраза <math>C \notin L</math>. Также возьмём две разные точки <math>A, B \in L</math>. Тогда прямые <math>\texttt< A, C \texttt></math> и <math>\texttt< B, C \texttt></math> пересекаются, и по лемме любая точка плоскости лежит на некоторой прямой <math>L_1</math>, пересекающей <math>AC</math> и <math>BC</math> в разных точках. <math>F(AC),F(BC) \subset L' \Rightarrow F(L_1) \subset L' \Rightarrow F(X) \in L' \Rightarrow F(\texttt< A, B, C \texttt>) \subset L'</math>.Шаблон:Sfn
Индукция по размерности: пусть образ некоторого подпространства <math>R</math> размерности <math>k < n</math> лежит в подпространстве <math>R'</math> размерности <math>k - 1</math>. Возьмём некоторую точку <math>C' \in S', C' \notin R'</math> и точку её прообраза <math>C \notin R</math>. Возьмём прямую <math>L_2</math> проходящую через <math>C</math> и пересекающую <math>R</math>. Тогда любая точка <math>X</math> подпространства <math>\texttt< R, C \texttt></math> лежит на некоторой прямой <math>L_3</math>, пересекающей <math>L_2</math> и <math>R</math> в разных точках и <math>F(X) \subset F(L_3) \subset \texttt< R', C' \texttt></math>, то есть для любой размерности <math>k \leq n</math> есть подпространство, образ которого лежит в подпространстве меньшей размерности, что означает, что <math>\operatorname{dim}{S} < \operatorname{dim}{S'}</math>. Противоречие. Значит прямые переходят в прямые и условия основной теоремы аффинной геометрии выполнены. Шаблон:Конец скрытого блока
Применение
Основная теорема аффинной геометрии позволяет определить полуаффинные отображения на основе чисто геометрических свойств. Такое определение часто используется в аксиоматических теориях, а определение данное в начале статьи доказывается как свойство. Однако такое определение сопряжено с некоторыми трудностями, начиная со сложности доказательства эквивалентности двух разных определений и заканчивая невозможностью определить таким образом полуаффинные отображения с прямой или точкой в качестве образа.
См. также
Примечания
Литература
