Русская Википедия:Остаточно конечная группа
Материал из Онлайн справочника
Остаточно конечная или финитно аппроксимируемая группа — группа <math>G</math> такая, что для любого элемента <math> g \ne 1 </math> найдётся гомоморфизм <math>h\colon G\to F</math> в конечную группу <math>F</math>, удовлетворяющий условию <math>h(g)\ne 1</math>.
Примеры
- Любая конечная группа остаточно конечна;
- Любая свободная группа остаточно конечна;
- Любая конечно порождённая нильпотентная группа остаточно конечна;
- Фундаментальная группа 3-мерного многообразия остаточно конечна;
- Группа Баумслага — Солитера <math>BS(m,n)</math> остаточно конечна тогда и только тогда когда <math>|m|=1</math>, <math>|n|=1</math>, или <math>|m|=|n|</math>[1].
Свойства
- Теорема Мальцева.[2] Всякая конечно порождённая подгруппа общей линейной группы является остаточно конечной.
- Подгруппа остаточно конечной группы является остаточно конечной.
- Прямое произведение остаточно конечных групп является остаточно конечным.
- Обратный предел остаточно конечных групп является остаточно конечным.
- В частности, проконечные группы являются остаточно конечными.
- Любая конечно порожденная остаточно конечная группа является хопфовой, то есть не имеет собственных факторгрупп, изоморфных ей самой.
Литература
- ↑ Stephen Meskin, Nonresidually Finite One-Relator Groups.
- ↑ A. I. Mal'cev, "On the faithful representation of infinite groups by matrices" Transl. Amer. Math. Soc. (2) , 45 (1965) pp. 1–18
