Русская Википедия:Пирамидальное число
Пирамидальное число — пространственная разновидность фигурных чисел, представляющее пирамиду с многоугольным основанием и заданным числом треугольных боковых сторон. Уже античные математики исследовали тетраэдральные и квадратные пирамидальные числа, для которых в основании лежат правильный треугольник и квадрат соответственно. Несложно определить числа, связанные с пирамидами, в основании которых лежит любой другой многоугольник, например:
Определение
Пирамидальные числа определяются следующим образом. Шаблон:Рамка <math>n</math>-е по порядку <math>k</math>-угольное пирамидальное число <math>\Pi^{(k)}_n</math> есть сумма первых <math>n</math> плоских фигурных чисел <math>P^{(k)}_n</math> с тем же числом углов <math>k</math>:
- <math>\Pi^{(k)}_n = P^{(k)}_1 + P^{(k)}_2 + P^{(k)}_3 + \dots + P^{(k)}_n</math>
|} Геометрически пирамидальное число <math>\Pi^{(k)}_n</math> можно представить как пирамиду из <math>n</math> слоёв (см. рисунок), каждый из которых содержит от 1 (верхний слой) до <math>P^{(k)}_n</math> (нижний) шаров.
По индукции нетрудно доказать общую формулу для пирамидального числа, известную ещё АрхимедуШаблон:Sfn:
Правую часть этой формулы можно также выразить через плоские многоугольные числа:
- <math>\Pi^{(k)}_n = \frac{(k-2)n - k + 5}{3} P^{(3)}_n = \frac {n+1}{6} (2 P^{(k)}_n + n)</math>
Примечания
Литература
Ссылки
- Фигурные числа Шаблон:Wayback
- Figurate Numbers Шаблон:Wayback на сайте MathWorldШаблон:Ref-en
- Centered Polygonal Number Шаблон:Wayback на сайте MathWorldШаблон:Ref-en