Русская Википедия:Плотность тока

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Пло́тность то́ка — векторная физическая величина, характеризующая плотность потока электрического заряда в рассматриваемой точке. В СИ измеряется в Кл/м²/c или, что то же самое, А/м².

Если все носители заряда имеют одинаковый заряд <math>q</math>, плотность тока вычисляется по формуле

<math> \vec{j} = n\,q\,\vec{v}</math>,

где <math>n</math> (м^-3) — концентрация носителей, а <math>\vec{v}</math> — средняя скорость их движения. В более сложных случаях производится суммирование по носителям разных сортов.

Плотность тока имеет технический смысл силы электрического тока, протекающего через элемент поверхности единичной площади. При равномерном распределении плотности тока и сонаправленности её с нормалью к поверхности, через которую протекает ток, для величины вектора плотности тока выполняется:

<math>j = |\vec j| = \frac{I}{S}</math>,

где I — сила тока через поперечное сечение проводника площадью S. Иногда говорится о скалярной плотности тока, в таких случаях под ней подразумевается величина <math>j</math> в формуле выше.

Варианты вычисления плотности тока

В простейшем предположении, что все носители тока (заряженные частицы) двигаются с одинаковым вектором скорости <math> \vec v </math> и имеют одинаковые заряды <math>q</math> (такое предположение может иногда быть приближенно верным; оно позволяет лучше всего понять физический смысл плотности тока), а концентрация их <math>n</math>,

<math> \vec j = n\,q\,\vec v = \rho_q \vec v,</math>

где <math>\rho_q</math> — плотность заряда этих носителей. Направление вектора <math> \vec j </math> соответствует направлению вектора скорости <math> \vec v </math>, с которой движутся заряды, создающие ток, если q положительно. В реальности даже носители одного типа движутся вообще говоря и как правило с различными скоростями. Тогда под <math>\vec v</math> следует понимать среднюю скорость.

В сложных системах (с различными типами носителей заряда, например, в плазме или электролитах)

<math>\vec j = \sum_s n_s q_s \vec v_s</math>,

то есть вектор плотности тока есть сумма плотностей тока по всем разновидностям (сортам) подвижных носителей; где <math>n_s</math> — концентрация частиц, <math>q_s</math> — заряд частицы, <math>\vec v_s</math> — вектор средней скорости частиц <math>s</math>-го сорта.

Выражение для общего случая может быть записано также через сумму по всем индивидуальным частицам из некоторого малого объёма <math>V</math>, содержащего рассматриваемую точку:

<math>\vec j = \frac{1}{V}\sum_i q_i \vec v_i</math>.

Сама формула почти совпадает с формулой, приведенной чуть выше, но теперь индекс суммирования i означает не номер типа частицы, а номер каждой индивидуальной частицы, не важно, имеют они одинаковые заряды или разные, при этом концентрации оказываются уже не нужны.

Плотность тока и сила тока

Файл:Densité de courant.png

Связь между током и плотностью тока

В общем случае сила тока (полный ток) может быть рассчитана исходя из плотности тока по формуле

<math>I = \left|\int\limits_S (\vec j\cdot d\vec{S})\right| = \left|\int\limits_S j_n\, dS\right|</math>,

где <math>j_n</math> — нормальная (ортогональная) составляющая вектора плотности тока по отношению к элементу поверхности площадью <math>dS</math>; вектор <math>d\vec{S}</math> — специально вводимый вектор элемента поверхности, ортогональный элементарной площадке и имеющий абсолютную величину, равную её площади, позволяющий записать подынтегральное выражение как обычное скалярное произведение. Обратное нахождение плотности тока по известной силе тока невозможно; в предположении равноплотного токопротекания перпендикулярно площадке будет <math>j = I/S</math>.

Сила тока представляет собой поток вектора плотности тока через заданную фиксированную поверхность. Часто в качестве такой поверхности рассматривается поперечное сечение проводника.

Величиной плотности тока обычно оперируют при решении физических задач, в которых анализируется движение заряженных носителей (электронов, ионов, дырок и других). Напротив, использование силы тока удобнее в задачах электротехники, особенно когда рассматриваются электрические цепи с сосредоточенными элементами.

Плотность тока и законы электродинамики

Величина плотности тока фигурирует в ряде важнейших формул классической электродинамики, некоторые из них представлены ниже.

Уравнения Максвелла

Плотность тока в явном виде входит в одно из четырёх уравнений Максвелла, а именно в уравнение для ротора напряжённости магнитного поля

<math>\nabla\times\vec{H}= \vec{j}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}</math>,

физическое содержание которого в том, что вихревое магнитное поле порождается электрическим током, а также изменением электрической индукции <math>\vec{D}</math>; значок <math>\partial</math> обозначает частную производную (по времени <math>t</math>). Это уравнение приведено здесь в системе СИ.

Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла и утверждает, что дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком минус, то есть

<math>\nabla\cdot\vec{j} + {\partial \rho_q \over \partial t} = 0</math>.

Закон Ома в дифференциальной форме

В линейной и изотропной проводящей среде плотность тока связана с напряжённостью электрического поля в данной точке по закону Ома (в дифференциальной форме):

<math>\vec j = \sigma\vec E</math>,

где <math>\sigma\ </math> — удельная проводимость среды, <math>\vec E</math> — напряжённость электрического поля. Или:

<math>\vec j = \frac{1}{\rho}\,\vec E</math>,

где <math>\rho\ </math> — удельное сопротивление.

В линейной анизотропной среде имеет место такое же соотношение, однако удельная электропроводность <math>\sigma</math> в этом случае, вообще говоря, должна рассматриваться как тензор, а умножение на неё — как умножение вектора на матрицу.

Плотность тока и мощность

Работа, совершаемая электрическим полем над носителями тока, характеризуется плотностью мощности [энергия/(время•объем)]:

<math>w = \vec E \cdot \vec j</math>,

где точкой обозначено скалярное произведение.

Чаще всего эта мощность рассеивается в среду в виде тепла, но вообще говоря она связана с полной работой электрического поля и часть её может переходить в другие виды энергии, например такие, как энергия того или иного вида излучения, механическая работа (особенно — в электродвигателях) и т. д.

С использованием закона Ома формула для изотропной среды переписывается как

<math>w = \sigma E^2 = \frac{j^2}{\sigma} \equiv \rho j^2</math>,

где <math>\sigma</math> и <math>\rho</math> — скаляры. Для анизотропного случая будет

<math>w = \vec E \sigma \vec E = \vec j \rho \vec j</math>,

где подразумевается матричное умножение (справа налево) вектора-столбца на матрицу и на вектор-строку, а тензор <math>\sigma</math> и тензор <math>\rho</math> порождают соответствующие квадратичные формы.

4-вектор плотности тока

Шаблон:Main В теории относительности вводится четырёхвектор плотности тока (4-ток), составленный из объёмной плотности заряда <math> \rho_q</math> и 3-вектора плотности тока <math>\vec{j}:</math>

<math>J^{\mu}=(c\rho_q, \vec{j}),</math>

где <math>c</math> — скорость света.

4-ток является прямым и естественным обобщением понятия плотности тока на четырёхмерный пространственно-временной формализм и позволяет, в частности, записывать уравнения электродинамики в ковариантном виде.