Русская Википедия:Поворот Вика
Поворот Вика — метод решения задач в пространстве Минковского посредством решения связанной задачи в евклидовом пространстве, используя комплексный анализ, в частности, понятие аналитического продолжения. Назван в честь Джанкарло Вика.
Обзор
Поворот Вика основывается на наблюдении, что метрика пространства Минковского:
- <math>ds^2 = -(dt^2) + dx^2 + dy^2 + dz^2</math>
становится метрикой четырёхмерного евклидова пространства:
- <math>ds^2 = d\tau^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2</math>,
если координата <math>t</math> принимает только мнимые значения. То есть задачу в пространстве Минковского с координатами <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>, <math>t</math>, заменяя <math>t = i\tau</math>, можно свести к задаче в вещественном евклидовом пространстве с координатами <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>, <math>\tau</math>.
Статистическая и квантовая механика
Шаблон:Плохой перевод Поворот Вика связывает статистическую механику с квантовой с помощью замены обратной температуры <math>1/(k_B T)</math> мнимым временем <math>it/\hbar</math>. Рассмотрим большое число гармонических осцилляторов при температуре <math>T</math>. Относительная вероятность нахождения заданного осциллятора в состоянии с энергией <math>E</math> есть <math>\exp(-E/k_B T)</math>, где <math>k_B</math> константа Больцмана. Среднее значение наблюдаемой <math>Q</math>:
- <math>\langle Q \rangle = \frac{1}{Z} \sum_j Q(j) e^{-E_j / (k_B T)}.</math>
Сейчас рассмотрим один квантовый гармонический осциллятор в суперпозиции базовых состояний, за время <math>t</math> с Гамильтонианом <math>H</math>. Относительное изменение фаз базового состояния с энергией <math>E</math> есть <math>\exp(-E it/ \hbar),</math> где <math>\hbar</math> редуцированная постоянная Планка. Амплитуда вероятности того, что одинаковая суперпозиция состояний <math>|\psi\rangle = \sum_j |j\rangle</math> приводит к произвольной суперпозиции <math>|Q\rangle = \sum_j Q_j |j\rangle</math> есть, пропуская нормирующий множитель,
- <math>\; \langle Q|e^{-iHt/\hbar}|\psi\rangle</math>
- <math>= \sum_j Q_j e^{-E_j it/ \hbar}\langle j|j\rangle</math>
- <math>= \sum_j Q_j e^{-E_j it/ \hbar}.</math>
Статика и динамика
Поворот Вика связывает статические задачи в <math>n</math> измерениях с динамическими задачами в <math>n-1</math> измерениях, «заменяя» одно пространственное измерение на время. В случае, где <math>n=2</math> примером будет висящая струна с закреплёнными концами в гравитационном поле. Форма кривой струны задаётся функцией <math>y(x)</math>. Струна находится в положении равновесия, когда энергия находится в экстремуме; этим экстремумом обычно является минимум, поэтому это носит название принципа наименьшей энергии. Чтобы посчитать энергию струны, мы проинтегрируем плотность энергии:
- <math>E = \int_x \left[ k \left(\frac{dy(x)}{dx}\right)^2 + V(x) \right] dx,</math>
где <math>k</math> — коэффициент упругости струны и <math>V(x)</math> — потенциальная энергия гравитации.
Соответственная динамическая задача — бросание камня вверх; на траектории камня, в соответствии с принципом наименьшего действия, достигается локальный минимум действия (действие — это интеграл от функции Лагранжа):
- <math>S = \int_t \left[ m \left(\frac{dy(t)}{dt}\right)^2 - V(t) \right] dt</math>
Мы получили решение динамической задачи (с точностью до множителя <math>-i</math>) из решения статической при помощи поворота Вика, заменив <math>x</math> на <math>t</math>, <math>dx</math> на <math>i dt</math>, и коэффициент упругости <math>k</math> на массу камня <math>m</math>:
- <math>-iS = \int_t \left[ m \left(\frac{dy(t)}{i dt}\right)^2 + V(t) \right] (i dt)</math>
- <math>= -i \int_t \left[ m \left(\frac{dy(t)}{dt}\right)^2 - V(t) \right] dt</math>
Ссылки
- Wick rotation Шаблон:Wayback — a blog introduction
- A Spring in Imaginary Time Шаблон:Wayback — a worksheet in Lagrangian mechanics illustrating how replacing length by imaginary time turns the parabola of a hanging spring into the inverted parabola of a thrown particle
- Температурные функции Грина — здесь поворот Вика используется в квантовой статистики при конечных температурах.
