Русская Википедия:Поле частных

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Поле частных (называемое также полем отношений) в общей алгебре определяется для области целостности <math>R</math> как наименьшее полеШаблон:Sfn, содержащее <math>R.</math> Поле частных для <math>R</math> может обозначаться <math>\operatorname{Frac}(R)</math> или <math>\operatorname{Quot}(R).</math>

Элементы поля частных могут быть (однозначно) конструктивно построены из элементов <math>R</math> как классы эквивалентности некоторого бинарного отношения (см. ниже).

Примеры

• Классическим примером области целостности является кольцо целых чисел; наименьшее расширение его до поля даёт поле рациональных чисел <math>\mathbb Q.</math>
• Возьмём в качестве <math>R</math> кольцо гауссовых целых чисел вида <math>a+bi,</math> где <math>a,b</math> — обычные целые числа. Тогда <math>\operatorname{Frac}(R) = \{c+d\mathrm{i}\mid c,d\in\Q\}</math> — поле рациональных гауссовых чисел.
• Поле частных для любого поля изоморфно исходному полю.
• Пусть <math>K</math> — поле. Тогда кольцо многочленов <math>K[X]</math> с коэффициентами из этого поля всегда является областью целостности. Поле частных для <math>K[X]</math> обозначается <math>K(X)</math> и называется полем рациональных функций.

Построение

Поле частных для области целостности <math>R</math> строится так же, как поле рациональных чисел на основе кольца целых чисел (см. Рациональное число#Формальное определение). Рассмотрим множество упорядоченных пар элементов <math>a,b \in R\ (b \ne 0)</math> и определим на нём отношение эквивалентности, как для дробей: пары <math>(a,b)</math> и <math>(c,d)</math> эквивалентны, если <math>ad=bc.</math> Поле частных <math>\operatorname{Frac}(R)</math> определяется как совокупность классов эквивалентности (факторкольцо). Класс, содержащий пару <math>(a,b),</math> по аналогии с обычными дробями будем обозначать <math>a/b</math> или <math>{a\over b}.</math>

Сумма <math>\frac{a}{b}</math> и <math>\frac{c}{d}</math> определяется, как для дробей: <math>\frac{ad+bc}{bd}.</math> Аналогично определяется умножение: <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.</math> Несложно проверитьШаблон:Sfn:

• результаты этих операций не зависят от выбора представителей в их классе эквивалентности;
• сложение обратимо, то есть всегда возможно вычитание;
• классы <math>0/b</math> и <math>a/a</math> играют роль нуля и единицы соответственно;
• все аксиомы кольца выполнены.

Поэтому <math>\operatorname{Frac}(R)</math> — коммутативное кольцо. Оно содержит кольцо, изоморфное исходному кольцу <math>R</math> — для доказательства сопоставим <math>a\in R</math> класс, содержащий пару <math>a/1.</math>

Далее установим, что у каждого ненулевого класса <math>{a\over b}</math> имеется обратный элемент <math>{b\over a},</math> определённый однозначно (в этом месте доказательства используется отсутствие делителей нуля), и этот факт означает выполнимость деления. Таким образом, построенная структура <math>\operatorname{Frac}(R)</math> является полем.

Поле частных для заданной области целостности единственно с точностью до изоморфизма.

Аналогичное построение может быть произведено для любого коммутативного кольца, результатом будет кольцо частных, которое, вообще говоря, не является полем — среди его элементов могут быть необратимые.

Свойства

Поле частных кольца <math>R</math> удовлетворяет следующему универсальному свойству: если h : <math>R</math> → <math>F</math> — инъективный гомоморфизм колец из <math>R</math> в поле <math>F</math>, то существует единственный гомоморфизм колец g: <math>\operatorname{Quot}(R)</math> → <math>F</math>, который совпадает с h на элементах <math>R</math>. Это универсальное свойство можно выразить такими словами: поле частных — это стандартный способ сделать элементы кольца обратимыми, соответственно, кольцо частных — это стандартный способ сделать некоторое подмножество элементов кольца обратимыми.

В терминах теории категорий конструкцию поля частных можно описать следующим образом. Рассмотрим категорию, объекты которой — области целостности, а морфизмы — инъективные гомоморфизмы колец. Существует забывающий функтор из категории полей в эту категорию (так как все гомоморфизмы полей инъективны). Оказывается, что у этого функтора существует левый сопряжённый, он и сопоставляет целостному кольцу его поле частных.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Кострикин А. И. Поле отношений целостного кольца. Шаблон:Wayback // Введение в алгебру, § 9.5.4.3.1. М.: Наука, 1977, стр. 233—236.