Русская Википедия:Полигамма-функция
Полига́мма-фу́нкция порядка m в математике определяется как (m+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции,
- <math>\psi^{(m)}(z) = \frac{{\rm d}^m}{{\rm d}z^m} \psi(z) = \frac{{\rm d}^{m+1}}{{\rm d}z^{m+1}} \ln\Gamma(z) \; ,</math>
где <math>\Gamma(z)</math> — гамма-функция, а
- <math>\psi(z) = \psi^{(0)}(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}</math>
— дигамма-функция[1], которую также можно определить через сумму следующего ряда:
- <math> \psi(z) = \psi^{(0)}(z) = -\gamma
+ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+z}\right)\;,</math>
где <math>{\textstyle{\gamma}}</math> — постоянная Эйлера—Маскерони. Это представление справедливо для любого комплексного <math>z\neq 0, \; -1, \; -2, \; -3, \ldots</math> (в указанных точках функция <math>{\textstyle{\psi(z)}}</math> имеет сингулярности первого порядка)[2].
Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда
- <math>\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum\limits_{k=0}^\infty
\displaystyle{\frac{1}{(z+k)^{m+1}}}\;, \qquad m>0 \;,</math>
который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z[1]. Это представление также справедливо для любого комплексного <math>z\neq 0, \; -1, \; -2, \; -3, \ldots</math> (в указанных точках функция <math>{\textstyle{\psi^{(m)}(z)}}</math> имеет сингулярности порядка (m+1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица[1],
- <math>\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z) \; .</math>
В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного (нецелого) порядка m.
Отметим, что в литературе <math> {\textstyle{\psi^{(m)}(z)}}</math> иногда обозначается как <math>{\textstyle{\psi_{m}(z)}}</math> или явным образом указываются штрихи для производных по z. Функция <math>{\textstyle{\psi'(z)=\psi^{(1)}(z)}}</math> называется тригамма-функцией, <math>{\textstyle{\psi(z)=\psi^{(2)}(z)}}</math> — тетрагамма-функцией, <math>{\textstyle{\psi'(z)=\psi^{(3)}(z)}}</math> — пентагамма-функцией, <math>{\textstyle{\psi^{(4)}(z)}}</math> — гексагамма-функцией, и т. д.
Интегральное представление
Полигамма-функция может быть представлена как
- <math>\psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1}\int_0^\infty
\frac{t^m e^{-zt}} {1-e^{-t}} {\rm d}t</math>
Это представление справедливо для Re z >0 и m > 0. При m=0 (для дигамма-функции) интегральное представление может быть записано в виде
- <math>\psi(z) = \psi^{(0)}(z)= -\gamma + \int_0^\infty
\frac{e^{-t} - e^{-zt}} {1-e^{-t}} {\rm d}t = -\gamma + \int_0^1 \frac{1-t^{z-1}}{1-t} {\rm d}t\; ,</math>
где <math>{\textstyle{\gamma}}</math> — постоянная Эйлера—Маскерони.
Асимптотические разложения
При <math>z\to\infty\;</math> (<math>\;|\operatorname{arg}\;{z}|<\pi</math>) справедливо следующее разложение с использованием чисел Бернулли:
- <math>\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m-1} \left[
\frac{(m-1)!}{z^m} + \frac{m!}{2z^{m+1}} + \sum_{k=1}^\infty \frac{(2k+m-1)!\; B_{2k}}{(2k)!\; z^{2k+m}} \right]</math>
Разложение в ряд Тейлора вблизи аргумента, равного единице, имеет вид
- <math>\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty
(-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!} \; ,</math>
где ζ обозначает дзета-функцию Римана. Этот ряд сходится при |z| < 1, и он может быть получен из соответствующего ряда для дзета-функции Гурвица.
Частные значения
Значения полигамма-функции при целых и полуцелых значениях аргумента выражаются через дзета-функцию Римана,
- <math>\psi^{(m)}(1) = (-1)^{m+1} m!\; \zeta(m+1)\; , \qquad m>0</math>
- <math>\psi^{(m)}(\tfrac12) = (-1)^{m+1} m!\; (2^{m+1}-1)\;\zeta(m+1)\; , \qquad m>0 \;,</math>
а для дигамма-функции (при m=0) —
- <math>\psi(1)=\psi^{(0)}(1)=-\gamma \; ,</math>
- <math>\psi(\tfrac12)=\psi^{(0)}(\tfrac12)=-\gamma-2\ln{2}\; ,</math>
где <math>{\textstyle{\gamma}}</math> — постоянная Эйлера—Маскерони[1].
Чтобы получить значения полигамма-функции при других целых (положительных) и полуцелых значениях аргумента, можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое ниже.
Другие формулы
Полигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению[1]
- <math>\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + \frac{(-1)^m\; m!}{z^{m+1}} \;,</math>
а также формуле дополнения[1]
- <math>\psi^{(m)}(1-z)+(-1)^{m+1}\;\psi^{(m)}(z) = (-1)^m \pi \frac{{\rm d}^m}{{\rm d}z^m}\cot(\pi z)\; . </math>
Для полигамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство[1]:
- <math>\psi^{(m)}(kz) = \frac{1}{k^{m+1}} \sum_{n=0}^{k-1}
\psi^{(m)}\left(z+\frac{n}{k}\right), \qquad m>0</math>
а для дигамма-функции (<math>m = 0</math>) к правой части надо добавить lnk[1],
- <math>\psi(kz) = \ln{k} + \frac{1}{k}\sum_{n=0}^{k-1}
\psi\left(z+\frac{n}{k}\right).</math>
См. также
Примечания
Ссылки
