Русская Википедия:Полная категория
Категория называется полной в малом, если в ней любая малая диаграмма имеет предел. Двойственное понятие — кополная в малом категория, то есть та, в которой любая малая диаграмма имеет копредел. Аналогично определяется конечная полнота и вообще α-полнота для любого регулярного кардинала α. Из них всех наиболее употребимой является полнота в малом, поэтому категории, полные в малом, называют просто полными. Существование пределов вообще всех (не обязательно малых) диаграмм оказывается слишком сильным условием, так как такая категория с необходимостью была бы предпорядком, между любыми двумя её объектами было бы не более одного морфизма.
Категория, являющаяся одновременно полной и кополной, называется биполной.
Более слабое свойство категории — конечная полнота. Категория называется конечно полной, если в ней существуют все конечные пределы (то есть пределы всех диаграмм, индексированных конечным множеством). Аналогично определяются конечно кополные категории.
Примеры
- Следующие категории биполны:
- категория множеств <math>\mathcal{S}et</math>;
- категория групп <math>\mathcal{G}rp</math>;
- категория колец <math>\mathcal{R}ing</math>;
- категория абелевых групп <math>\mathcal{A}b</math>;
- категория топологических пространств <math>\mathcal{T}op</math>;
- категория компактных хаусдорфовых пространств <math>\mathcal{C}omp\mathcal{H}</math>;
- категория малых категорий <math>\mathcal{C}at</math>;
- Следующие категории конечно биполны, но не являются полными или кополными:
- категория конечных множеств <math>f{S}et</math>;
- категория конечномерных векторных пространств над полем <math>K</math> <math>fd-\mathcal{V}ect_K</math>;
- категория конечных групп <math>f\mathcal{G}rp</math>;
- Вообще, если <math>\mathrm{Mod}_{\mathcal{T}}</math> — категория моделей некоторой Шаблон:Не переведено 5 <math>\mathcal{T}</math>, то <math>\mathrm{Mod}_{\mathcal{T}}</math> полна и кополна, так как она рефлективна в <math>\mathrm{Func}(\mathcal{T},\mathcal{S}et)</math>. Напомним, что алгебраическая теория допускает только условия на операции, являющиеся тождествами (никаких кванторов!). Скажем, категория полей не является категорией моделей алгебраической теории, поэтому предыдущее утверждение к ней неприменимо. Она не является полной или кополной.
- (теорема о пределе с параметром) Если категория <math>\mathcal{C}</math> полна (кополна), то категория <math>\mathrm{Func}(\mathcal{A},\mathcal{C})</math> полна (кополна) для любой категории <math>\mathcal{A}</math>, причём пределы вычисляются поточечно.
- Любая абелева категория конечно полна и конечно кополна.
- Предпорядок полон, если в нём существует наибольший элемент и любое множество элементов имеет точную верхнюю грань. Аналогично, он кополон, если имеет наименьший элемент и любое множество элементов имеет точную нижнюю грань.
- Категория метрических пространств Met конечно полна, но не является полной и не имеет даже конечных копроизведений.
Свойства
Существует теорема о том, что категория полна тогда и только тогда, когда в ней существуют все уравнители и малые произведения. Соответственно, категория кополна, если в ней есть все коуравнители и малые копроизведения.
Конечно полную категорию также можно охарактеризовать несколькими способами. А именно — следующие утверждения эквивалентны:
- C конечно полна,
- C имеет все уравнители и конечные произведения,
- C имеет все уравнители, бинарные произведения и терминальный объект,
- C имеет все декартовы квадраты и терминальный объект.
Двойственные утверждения также эквивалентны.
Малая категория полна в малом, только если она является предпорядком. То же верно и для кополной категории; более того, для малой категории полнота и кополнота в малом эквивалентны.[1]
Если категория <math>C</math> полна в малом, то для любой малой категории <math>A</math> любой функтор <math>F\colon A\to C</math> имеет правое расширение Кана <math>\mathrm{Ran}_K F</math> по любому функтору <math>K\colon A\to B</math>, причём любое такое расширение Кана является поточечным. Утверждение явно следует из представления поточечного расширения Кана как предела.
Примечания
Литература
- С. Маклейн Категории для работающего математика, — Шаблон:М: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
- Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — Шаблон:М: Мир, 1983. — 487 с.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- ↑ Abstract and Concrete Categories, Jiří Adámek, Horst Herrlich, and George E. Strecker, theorem 12.7, page 213
