Русская Википедия:Полноторие
Материал из Онлайн справочника
Полното́рие (полното́рий) — трёхмерная фигура, ограниченная тором, а также топологическое пространство, гомеоморфное этой фигуре, то есть прямое произведение <math>D^2 \times S^1 </math>двумерного диска и окружности. Неформально, полноторие — бублик, тогда как тор — только его поверхность (пустотелая камера колеса).
Свойства
- Полноторие может быть получено как фигура вращения круга радиуса <math>r</math> вокруг оси, лежащей в плоскости этого круга, находящийся на расстоянии <math>R</math> от его центра.
- Объём полнотория как следствие из второй теоремы Гульдина: <math>V=2\pi^2 R r^2</math>, где <math>r</math> — радиус образующего круга, а <math>R</math> — расстояние от центра образующего круга до оси вращения (см. рисунок).
- Полноторие является трёхмерным компактным многообразием с краем. Это многообразие является связным и ориентируемым.
- Полноторие гомотопически эквивалентно окружности <math>S^1</math>. Отсюда следует, что полноторие и окружность имеют одинаковые фундаментальные группы и группы гомологий:
- <math>\pi_1(S^1 \times D^2) \cong \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}</math>
- <math>H_k(S^1 \times D^2) \cong H_k(S^1) \cong
\begin{cases} \mathbb{Z} & k = 0,1 \\ 0 & k\ge 2 \end{cases}</math>
Литература
- Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология — М., 1992.
- Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.— М.: Наука, 1989.
Шаблон:Geometry-stub
Шаблон:Rq
