Русская Википедия:Полугруппа
Полугруппа в общей алгебре — множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией <math>( S , \cdot)</math>. Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента («единицы»). Однако более общепринятым является подход, согласно которому полугруппа не обязательно является непустой и не обязательно содержит нейтральный элемент. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом; любую полугруппу <math>S</math>, не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент <math>e \not\in S</math> и определив <math>es = s = se\ \forall s \in S \cup \{e\};</math> полученный моноид обычно обозначается как <math>S^1</math>.
Примеры полугрупп: натуральные числа с операцией сложения, множество всех отображений множества в себя с операцией композиции, множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации. Любая группа является также и полугруппой; Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.
Определение
Полугруппой является (непустое) множество <math>\mathfrak{U}</math>, в котором для любой пары взятых в определённом порядке элементов <math>X, Y \in \mathfrak{U}</math> определён новый элемент, называемый их произведением <math>U = X Y \in \mathfrak{U}</math>, причём для любых <math>X, Y, Z \in \mathfrak{U}</math> всегда выполнено <math>(XY)Z=X(YZ)</math>Шаблон:Sfn.
Виды полугрупп
Полугруппа <math>\mathfrak{U}</math> называется коммутативной (или абелевой), если для любых <math>A, B \in \mathfrak{U}</math> всегда выполнено <math>AB=BA</math>.
Важные классы образуют полугруппы с сокращениемШаблон:Sfn:
- с левым сокращением, если при любых <math>X, A, B \in \mathfrak{U}</math> из <math>XA=XB</math> всегда следует <math>A=B</math>;
- с правым сокращением, если при любых <math>Y, A, B \in \mathfrak{U}</math> из <math>AY=BY</math> всегда следует <math>A=B</math>;
- с двусторонним сокращением, если является полугруппой и с левым, и с правым сокращением одновременно.
Элемент <math>A</math> полугруппы <math>\mathfrak{U}</math> называется регулярным, если в <math>\mathfrak{U}</math> найдется такой элемент <math>X</math>, что <math>AXA=A</math>. Полугруппа, все элементы которой регулярны, называется регулярной полугруппой.
Элемент <math>A</math> полугруппы <math>\mathfrak{U}</math> называется вполне регулярным, если в <math>\mathfrak{U} </math> найдется такой элемент <math>X</math>, что <math>AXA=A</math> и <math>AX=XA</math>. Вполне регулярная полугруппа — полугруппа, все элементы которой вполне регулярныШаблон:Sfn.
Полугруппа <math>\mathfrak{U}</math>, в которой для любых <math>A, B \in \mathfrak{U}</math> в <math>\mathfrak{U}</math> всегда найдутся такие <math>X, Y</math>, что <math>XA=B</math> и <math>AY = B</math>, является группой.
Структура полугруппы
Если <math> A,B \subset S </math>, то принято обозначать <math> AB=\{ab \mid a \in A, b \in B\}</math>.
Подмножество <math>A</math> полугруппы <math>S</math> называется подполугруппой, если оно само является полугруппой относительно ограничения операции на подмножество. Для этого достаточно, чтобы для любых двух элементов из <math>A</math> их произведение также принадлежало <math>A</math>.
Если подмножество <math>A</math> непусто и <math>AS</math> (соответственно, <math>SA</math>) лежит в <math>A</math>, то <math>A</math> называют правым (соответственно, левым) идеалом. Если <math>A</math> является одновременно левым и правым идеалом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.
Пересечение и объединение любого семейства подполугрупп также является подполугруппой; из этого следует, что подполугруппы образуют полную решётку. Пример полугруппы, в которой нет минимального идеала — положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.
Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как:
- <math>a^n=\overset{n}{\overbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}</math>.
Для степени элемента справедливо соотношение <math>a^{m+n}=a^m\cdot a^n, (a^n)^m=a^{nm}, \forall n,m\in\mathbb N</math>.
Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов <math>a</math> и <math>b</math> определено правое <math>(a/b)</math> и левое <math>(b/a)</math> частное.
В конечной полугруппе всегда есть идемпотент (элемент, для которого <math>aa = a</math>).
Гомоморфизм полугрупп — это отображение, сохраняющее структуру полугруппы. А именно, отображение <math>f</math> из полугруппы <math>R</math> в полугруппу <math>S</math> называется гомоморфизмом, если <math>\forall a,b \in S\ f(ab) = f(a)f(b)</math>. Две полугруппы <math>S</math> и <math>T</math> называются изоморфными, если существует биективный гомоморфизм <math>f \colon S \to T</math>.
Отношения Грина
Шаблон:Main В 1951 году Шаблон:Iw ввёл пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе <math> S </math> определяются следующими формулами:
- <math> aRb\Leftrightarrow aS^1=bS^1</math>
- <math>aLb\Leftrightarrow S^1a=S^1b</math>
- <math>aJb\Leftrightarrow S^1aS^1=S^1bS^1</math>
- <math> H=L\cap R</math>
- <math>D=R\vee L</math>
Из определения непосредственно следует, что <math>R</math> — правая конгруэнция, а <math>L</math> — левая конгруэнция. Также известно, что <math> D=R\circ L=L\circ R </math>. Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы <math>a</math> и <math>b</math> R-эквивалентны, <math>u</math>, <math>v</math> такие, что <math>au=b</math>, <math>bv=a</math> и <math> p_u,p_v </math> — соответствующие правые сдвиги, то <math> p_u,p_v </math> — взаимно обратные биекции <math> L_a </math> на <math> L_b </math> и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.
Примечания
Литература
