Русская Википедия:Полунорма
Материал из Онлайн справочника
Полунорма или преднорма — обобщение понятия норма; в отличие от последней, полунорма может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.
Определение
Полунормой называется неотрицательная функция <math>p\colon L \to\R</math>, в линейном пространстве <math>L</math> над полем вещественных или комплексных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:
- Абсолютная однородность: <math>p(\alpha x)=|\alpha|p(x)</math> для любого скаляра <math>\alpha</math>
- Неравенство треугольника: <math>p(x+y) \leqslant p(x)+p(y)</math> для всех <math>x, y \in L</math>
Пространство <math>{(L,\; p)}</math> называется полунормированным пространством.
Свойства
- <math>p(0)=0</math>
- Это свойство следует из первого условия определения и равенства <math>0_{\R} \cdot 0_L = 0_L</math>, здесь первый нуль принадлежит полю вещественных или комплексных чисел, а второй и третий — пространству <math>L</math>:
- <math>p(0_L)=p(0_\R \cdot 0_L) = |0_\R| \cdot p(0_L) = 0_\R</math> (где <math>0_L = 0_\R \cdot 0_L</math> следует из линейности <math>L</math>)
- <math>p(x)=p(-x)</math>
- Это свойство также получается из первого условия при <math>\alpha = -1</math>.
- <math>p(x) \geqslant 0</math>
- Если предположить существование такого <math>x^*</math>, что <math>p(x^*) < 0</math>, то из первого условия определения следует, что и <math>p(-x^*) < 0</math>. Воспользовавшись вторым условием, <math>p(0) = p(x^*-x^*) \leqslant p(x^*) + p(-x^*) < 0</math> получаем противоречие с первым свойством.
Литература
- Рудин У. Функциональный анализ, пер. с англ., — Шаблон:М, 1975.
