Русская Википедия:Поляризация (алгебра Ли)
Поляриза́ция в теории представлений — максимальное вполне изотропное подпространство определённой кососимметрической билинейной формы на алгебре Ли. Понятие поляризации играет важную роль при построении неприводимых унитарных представлений некоторых классов групп Ли Шаблон:Iw, а также в гармоническом анализе на группах Ли и математической физике.
Определение
Пусть <math>G</math> — группа Ли, <math>\mathfrak{g}</math> — её алгебра Ли, <math>\mathfrak{g}^*</math> — сопряжённое к <math>\mathfrak g</math> пространство. Посредством <math>\langle f,\,X\rangle</math> обозначим значение линейного функционала (ковектора) <math>f\in\mathfrak{g}^*</math> на векторе <math>X\in\mathfrak{g}</math>. Подалгебра <math>\mathfrak{h}</math> алгебры <math>\mathfrak g</math> называется подчинённой ковектору <math>f\in\mathfrak{g}^*</math>, если выполняется условие
- <math>\langle f,\,[X,\,Y]\rangle = 0\quad\forall\quad X, Y\in\mathfrak{h}</math>,
или, более коротко,
- <math>\langle f,\,[\mathfrak{h},\,\mathfrak{h}]\rangle = 0</math>.
Пусть, далее, группа <math>G</math> действует на пространстве <math>\mathfrak{g}^*</math> коприсоединённым представлением <math>\mathrm{Ad}^*</math>. Обозначим посредством <math>\mathcal{O}_f</math> орбиту этого действия, проходящую через точку <math>f</math>, а <math>\mathfrak{g}^f</math> — алгебру Ли группы <math>\mathrm{Stab}(f)</math> — стабилизатора точки <math>f</math>. Подалгебра <math>\mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}</math>, подчинённая функционалу <math>f</math>, называется поляризацией алгебры <math>\mathfrak{g}</math> относительно <math>f</math>, или, короче, поляризацией ковектора <math>f</math>, если она имеет максимально возможную размерность, а именно
- <math>\dim\mathfrak{h} = \frac{1}{2}\left(\dim\,\mathfrak{g} + \dim\,\mathfrak{g}^f\right) = \dim\,\mathfrak{g} - \frac{1}{2}\dim\,\mathcal{O}_f</math>[1][2].
Условие Пуканского
Исторически важную роль в развитии теории представлений сыграло приведённое ниже условие, найденное Л. Пуканским[3].
Пусть <math>\mathfrak{h}</math> — поляризация, соответствующая ковектору <math>f</math>, <math>\mathfrak{h}^\perp</math> — её аннулятор, то есть совокупность всех функционалов <math>\lambda\in\mathfrak{g}^*</math>, значение которых на <math>\mathfrak{h}</math> равно нулю: <math>\mathfrak{h}^\perp := \{\lambda\in\mathfrak{g}^*|\langle\lambda,\,\mathfrak{h}\rangle = 0\}</math>. Поляризация <math>\mathfrak{h}</math> называется нормальной, если выполнено условие, которое называется условием Пуканского: Шаблон:EF Л. Пуканский показал, что условие (Шаблон:Eqref) гарантирует применимость Шаблон:Iw А. Кириллова, разработанного изначально для нильпотентных групп Ли, также к более широкому классу разрешимых групп[4].
Свойства
- Поляризация — это максимальное вполне изотропное подпространство билинейной формы <math>\langle f,\,[\cdot,\,\cdot]\rangle</math> на алгебре Ли <math>\mathfrak{g}</math>[1][2].
- Поляризация существует не для всякой пары <math>(\mathfrak{g},\,f)</math>[1][2].
- Если для функционала <math>f</math> существует поляризация, то она существует и для любой точки орбиты <math>\mathcal{O}_f</math>, причём если <math>\mathfrak{h}</math> — поляризация для <math>f</math>, то <math>\mathrm{Ad}_g\mathfrak{h}</math> — поляризация для <math>\mathrm{Ad}^*_g f</math>. Таким образом, существование поляризации — свойство орбиты в целом[1].
- Если алгебра Ли <math>\mathfrak{g}</math> вполне разрешима, то для неё существует поляризация относительно каждой точки <math>f\in\mathfrak{g}^*</math>[2].
- Если <math>\mathcal{O}</math> — орбита общего положения, то относительно каждой её точки для любой алгебры Ли имеется поляризация, причём её можно выбрать разрешимой[2].
- Если для орбиты <math>\mathcal{O}</math> существует поляризация, то вложение <math>\mathcal{O}\hookrightarrow\mathfrak{g}^*</math> может быть реализовано функциями <math>f_i(q, p),\ i = 1, ..., \dim\mathfrak{g}</math>, линейными по <math>1/2\,\dim\mathcal{O}</math> переменным <math>p</math>, где <math>(q,\,p)</math> — канонические координаты для формы Кириллова на орбите <math>\mathcal{O}</math>.[5][6].
Примечания
