Русская Википедия:Поток средней кривизны
Материал из Онлайн справочника
Поток средней кривизны — определённый процесс деформации гиперповерхностей в римановом многообразии, в частности для поверхностей в 3-мерном евклидовом пространстве.
Поток деформирует поверхность в нормальном направлении со скоростью, равной её средней кривизне. Например, сфера под действием потока сжимается в точку.
Уравнение
Однопараметрическое семейство поверхностей <math>f_t\colon S\hookrightarrow M</math> является потоком средней кривизны, если
- <math>\frac{\partial f_t(x)}{\partial t}=H_t(x)\cdot n(x),</math>
где <math>H_t(x)</math> и <math>n(x)</math> обозначают среднюю кривизну и единичный вектор нормали к поверхности <math>f_t(S)</math> в точке <math>f_t(x)</math>.
Свойства
- Уравнение потока является параболическим дифференциальным уравнением в частных производных.
- В частности, это гарантирует существование решения для малых значений временного параметра.
- Минимальные поверхности являются критическими точками для потока средней кривизны.
- Обычно поток средней кривизны формирует особенность за конечное время, начиная с которой поток перестаёт быть определён.
- Шаблон:Iw
- Под действием потока замкнутая выпуклая гиперповерхность в евклидовом пространстве остаётся выпуклой. Более того, она схлопывается в точку за конечное время, и непосредственно до этого момента поверхность приближается к стандартной сфере с точностью до изменения масштаба.
- В общем римановом многообразии выпуклость гиперповерхности не сохраняется в потоке, даже если дополнительно потребовать положительность секционной кривизны.
См. также
- Укорачивающий поток — частный случай потока средней кривизны для кривых на плоскости.
- Поток Риччи — близкая конструкция для деформации римановых многообразий.
Применения
- Поток предоставляет естественную операцию сглаживания для гиперповерхностей. В частности, даёт аппроксимацию данной <math>C^2</math>-гладкой гиперповерхности аналитическими.
Литература
- Шаблон:Citation.
- Шаблон:Citation.
- Шаблон:Citation. См., в частности, уравнения 3a и 3b.
