Русская Википедия:Предельная точка
Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.
Определение и типы предельных точек
Точка <math>x</math> называется предельной точкой подмножества <math>A</math> в топологическом пространстве <math>X</math>, если всякая проколотая окрестность точки <math>x</math> имеет с <math>A</math> непустое пересечение.
Точка <math>x</math> называется точкой накопления подмножества <math>A</math>, если всякая окрестность точки <math>x</math> имеет с <math>A</math> бесконечное число общих точек. Для T1-пространств (то есть пространств, у которых все точки (одноточечные множества) замкнуты), понятия предельная точка и точка накопления равносильны.
Точка <math>x</math> называется точкой конденсации подмножества <math>A</math>, если всякая окрестность точки <math>x</math> содержит несчётное множество точек <math>A</math>.
Точка <math>x</math> называется точкой полного накопления подмножества <math>A</math>, если для всякой окрестности <math>U</math> точки <math>x</math> мощность пересечения <math>U\cap A</math> равна мощности множества <math>A</math>.
Связанные понятия и свойства
- Точка <math>x</math> называется точкой прикосновения подмножества <math>A</math> в топологическом пространстве <math>X</math>, если всякая окрестность точки <math>x</math> имеет с <math>A</math> непустое пересечение. Множество всех точек прикосновения множества <math>A</math> составляет его замыкание <math>\bar A</math>.
- Изолированной называется такая точка <math>x \in A</math>, у которой есть окрестность, не имеющая с <math>A</math> других общих точек, кроме <math>x</math>. Подмножество в <math>A</math>, состоящее из одной этой точки, является открытым в <math>A</math> (в индуцированной топологии).
- Таким образом, все точки прикосновения любого множества <math>A \subset X</math> (то есть точки замыкания <math>\bar A</math>) делятся на два вида: предельные и изолированные точки <math>A</math>. Вторые составляют подмножество <math>A</math>, первые же могут как принадлежать, так и не принадлежать ему.
- Совокупность всех предельных точек множества <math>A</math> называется его произво́дным мно́жеством и обозначается <math>A'</math>. Все предельные точки множества входят в его замыкание <math>\bar A</math>. Более того, справедливо равенство: <math>\bar A = A \cup A'</math>, из которого легко получается следующий критерий замкнутости подмножеств: Множество A замкнуто тогда и только тогда, когда содержит все свои предельные точки.
- Если <math>x</math> — предельная точка множества <math>A</math>, то существует направление точек из <math>A</math>, сходящееся к <math>x</math>.
- В метрических пространствах, если <math>x</math> — предельная точка множества <math>A</math>, то существует последовательность точек из <math>A</math> сходящаяся к <math>x</math>. Топологические пространства, для которых выполняется это свойство, называются пространствами Фреше — Урысона.
- Топологическое пространство <math>X</math> компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в <math>X</math>.
- Топологическое пространство <math>X</math> счётно компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну строгую предельную точку в <math>X</math>. Всякий компакт счётно компактен. Для метрических пространств верно и обратное (критерий компактности метрического пространства): метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно счётно компактно.
- (В частности, поскольку отрезок прямой компактен, то он счётно компактен. Следовательно, всякое бесконечное ограниченное подмножество прямой имеет хотя бы одну предельную точку.)
- Замкнутое множество в хаусдорфовом пространстве называется совершенным, если каждая его точка является предельной (то есть, если множество не содержит изолированных точек). Примерами совершенных множеств могут служить отрезок прямой, множество Кантора.
Примеры
- Рассмотрим множество вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math> со стандартной топологией, порождённой открытыми интервалами. Тогда относительно этой топологии имеем:
- <math>(a,b)' = [a,b];</math>
- <math>\mathbb{Q}' = \mathbb{R},</math> где <math>\mathbb{Q}</math> — множество рациональных чисел;
- <math>\mathbb{Z}' = \varnothing,</math> где <math>\mathbb{Z}</math> — множество целых чисел;
- Пусть <math>\omega_1</math> — первый несчётный ординал. Рассмотрим <math>[0, \omega_1]</math> — ординал <math>\omega_1 + 1</math> с порядковой топологией. Точка <math>\omega_1</math> является предельной точкой множества <math>[0, \omega_1)</math>, однако не существует последовательности из элементов этого множества, сходящейся к <math>\omega_1</math>.
Предельная точка числового множества
В частности, предельной точкой числового множества, имеющего бесконечное число элементов, называется точка числовой прямой, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этого множества. Также можно считать предельной точкой такого множества <math>-\infty</math>, если из некоторых его элементов можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными отрицательными элементами. Если же можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными положительными элементами, то можно считать предельной точкой <math>+\infty</math>[1].
Верхняя предельная точка числового множества — это наибольшая из его предельных точек.
Нижняя предельная точка числового множества — это наименьшая из его предельных точек.
Свойства
- У любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, существуют и верхняя, и нижняя предельные точки (в множестве вещественных чисел). Если добавить в множество вещественных чисел <math>-\infty</math> и <math>+\infty</math>, то в получившемся множестве предельные точки имеют вообще все числовые множества с бесконечным числом элементов.
- Из элементов любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, можно выделить сходящуюся последовательность, элементы которой попарно различны.
Предельная точка числовой последовательности
Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности[1].
- <math>x</math> — предельная точка последовательности <math>\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \Leftrightarrow</math>
- <math>\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists X \subseteq \N \colon \left| X \right| = \alef_0 \land \forall i \in X \colon \left| x_i - x\right| < \varepsilon</math>
Наибольшая предельная точка последовательности называется её верхним пределом, а наименьшая предельная точка — нижним пределом.
Иногда во множество возможных предельных точек включают «<math>-\infty</math>» и «<math>+\infty</math>». Так, если из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой отрицательны, то говорят, что «<math>-\infty</math>» является предельной точкой этой последовательности. Если же из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность с исключительно положительными элементами, то говорят, что «<math>+\infty</math>» является её предельной точкой[1]. При этом, разумеется, у последовательности могут быть и другие предельные точки.
Свойства
- Точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к этой точке (то есть точка является частичным пределом последовательности).
- <math>x</math> — предельная точка последовательности <math>\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \Leftrightarrow \exists \left\{ k_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \forall i \in \N \colon k_{i} < k_{i + 1} \land \lim_{n \to \infty} x_{k_n} = x</math>
- Иногда это свойство принимают за определение, а приведённое выше определение — за свойство.
- Всякая сходящаяся числовая последовательность имеет только одну предельную точку.
- <math>x, x'</math> — предельные точки последовательности <math>\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \land \exists \lim_{n \to \infty} x_n \Rightarrow x = x'</math>
- Предельная точка любой сходящейся числовой последовательности совпадает с её пределом.
- <math>x</math> — предельная точка последовательности <math>\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \land \exists \lim_{n \to \infty} x_n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} x_n = x</math>
- Для любого конечного множества точек можно построить последовательность, для которой эти точки будут являться предельными и никакие, кроме них.
- У произвольной числовой последовательности имеется хотя бы одна предельная точка (либо вещественная, либо бесконечность).
Примеры
- У последовательности из единиц <math>\left\{ 1 \right\}_{n = 1}^{\infty}</math> существует единственная предельная точка 1 (хотя она не является предельной точкой множества значений элементов последовательности, состоящего из одного элемента).
- У последовательности <math>\left\{ 1 / n \right\}_{n = 1}^{\infty}</math> существует единственная предельная точка 0.
- У последовательности натуральных чисел <math>\left\{ n \right\}_{n = 1}^{\infty}</math> нет предельных точек (или, в других терминах, имеется предельная точка <math>+\infty</math>).
- У последовательности <math>\left\{ \left( -1 \right)^n \right\}_{n = 1}^{\infty}</math> существуют две предельные точки: −1 и +1.
- У последовательности из всех рациональных чисел <math>\left\{ q_n \right\}_{n = 1}^{\infty}</math>, занумерованных произвольным образом, существует бесконечно много предельных точек.
Предельная точка направления
Пусть <math>\left\{x_\alpha\right\}_{\alpha \in \Alpha}</math> — направление элементов топологического пространства <math>X</math>. Тогда <math>x</math> называется предельной точкой направления, если для любой окрестности <math>U</math> точки <math>x</math> и для любого <math>\alpha \in \Alpha</math> найдётся индекс <math>\beta \in \Alpha</math> такой что <math>\beta \geqslant \alpha</math> и <math>x_\beta \in U</math>
Свойства
- Точка является предельной точкой направления тогда и только тогда, когда существует поднаправление, сходящееся к этой точке.
- В частности, точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда существует поднаправление, сходящееся к этой точке.
- Если каждая точка топологического пространства обладает счётной базой, то в предыдущем пункте можно говорить о подпоследовательностях.
Примеры
Пусть <math>A = [0,1)</math> — направлено по возрастанию. У направления <math>\left\{\alpha\right\}_{\alpha \in A}</math> существует единственная предельная точка <math>{1}</math> в топологическом пространстве <math>[0, 1]</math>.
См. также
Примечания
Литература
