Русская Википедия:Представление Лакса
Представление Лакса — используемое в теории интегрируемых систем представление уравнений системы в виде уравнения Лакса для пары зависящих от времени операторов, называемой парой Лакса. Преимущество такого представления в том, что если удалось записать уравнения в таком виде, то автоматически получается набор первых интегралов движения.
Пара Лакса — пара операторов <math>L(t), P(t)</math>, зависящих от времени, действующих на заданном гильбертовом пространстве и удовлетворяющих уравнению Лакса:
- <math>\frac{dL}{dt}=[P,L]</math>.
В таком случае величины <math>\operatorname{tr} L^k</math> являются (возможно не все независимыми) первыми интегралами движения.
Представление изначально предложено Питером Лаксом в контексте теории солитонов. Например, уравнение Кортевега — де Фриза:
- <math>u_t=6uu_x-u_{xxx}</math>
может быть представлено посредством пары:
- <math>
\begin{align}
L &= -\partial_{x}^2+u, \\ P &= -4\partial_{x}^3+6u\partial_{x}+3u_x
\end{align} </math>. Множество <math>\operatorname{tr} L^k</math> даёт при этом счётный набор сохраняющихся величин.
Многие другие системы также могут быть записаны в виде представления Лакса, например уравнение синус-Гордона, цепочка Тоды, волчок Ковалевской, уравнение Кадомцева — Петвиашвили и так далее.
Литература