Русская Википедия:Представление фазового пространства
Шаблон:Квантовая механика В представлении фазового пространства квантовая механика трактует единообразно как координаты, так и импульсы частиц, которые образуют фазовое пространство, в отличие от трактовки Шредингера, где используется координатное или импульсное представления (см. Шаблон:Нп5). Два ключевых элемента физической картины в представлении фазового пространства состоят в следующем: квантовое состояние описывается квазивероятностным распределением (вместо волновой функции, векторами состояний или матрицей плотности), и оператор умножения заменяется звёздочным произведением.
Теория была полностью разработана Хилбрандом Груневолдом в 1946 году в своей кандидатской диссертации[1] и независимо Джо Моялем[2]. Каждая из этих работ базировались на более ранних идеях, сформулированных Германом Вейлем[3] и Юджином Вигнером[4].
Главное преимущество квантовой механики в представлении фазового пространства заключается в том, что оно делает квантовую механику аналогичной гамильтоновой механике, избегая формализма операторов, тем самым «освобождая» квантование от «бремени» Гильбертова пространства[5]. Эта формулировка носит статистический характер и предлагает логические связи между квантовой механикой и классической статистической механикой, что позволяет естественное сравнение между ними в так называемом классическом пределе, то есть при <math>\hbar\rightarrow 0</math>. Квантовая механика в фазовом пространстве часто выступает в определённых приложениях квантовой оптики (см. Шаблон:Нп5), при изучении декогеренции и целом ряде специальных технических проблем, хотя этот формализм редко используется на практике[6].
Концептуальные идеи, лежащие в основе развития квантовой механики в фазовом пространстве, воплотились в математических ответвлениях, таких как алгебраическая теория деформирования (см. Шаблон:Нп5) и некоммутативная геометрия.
Распределение в фазовом пространстве
Шаблон:Main Распределение в фазовое пространстве Шаблон:Math, которое описывает квантовое состояние это Шаблон:Нп5. В представлении фазового пространства, распределение можно рассматривать как основополагающее, примитивное описание квантовой системы, без каких-либо ссылок на волновые функции или матрицы плотности[7].
Существует несколько различных способов представления распределений, но все они взаимосвязаны[8][9]. Наиболее примечательным является представление Вигнера, Шаблон:Math, обнаруженое первым. Другие представления (приблизительно в порядке убывания распространённости в литературе) включают Шаблон:Нп5[10][11], Шаблон:Нп5[12], представление Кирквуда — Рихачека, представление Мехты, представление Ривьера и представление Борна — Иордана[9][13]. Эти альтернативы наиболее полезны, когда гамильтониан принимает особую форму, например при Шаблон:Нп5 в P представления Глаубера — Сударшана. Поскольку представление Вигнера является самым распространенным в литературе, то в этой статье, как правило, рассматривается оно, если не указано иное.
Распределение в фазовом пространстве обладает свойствами подобными плотности вероятности в 2n-мерном фазовом пространстве. Например, оно является вещественнозначным, в отличие от комплекснозначной волновой функции. Мы можем понимать вероятность, нахождения внутри координатного интервала. Например, путем интегрирования функция Вигнера по всем импульсам и по координатам в интервале Шаблон:Math получим:
- <math>\operatorname P [a \leq X \leq b] = \int_a^b \int_{-\infty}^{\infty} W(x, p) \, dp \, dx.</math>
Если Шаблон:Math — оператор, представляющий наблюдаемую величину, то ему можно сопоставить в фазовом пространстве, величину Шаблон:Math через преобразование Вигнера. Наоборот, этот оператор можно восстановить через преобразование Вейля.
Среднее значение наблюдаемой по отношению к распределению в фазовом пространстве задаётся выражением[14]
- <math>\langle \hat{A} \rangle = \int A(x, p) W(x, p) \, dp \, dx.</math>
Однако, несмотря на внешнее сходство, Шаблон:Math не обладает всеми свойствами подлинного совместного распределения вероятностей, потому что области под ним не являются взаимно исключающими, как требуется в четвёртой аксиоме теории вероятности (аксиома аддитивности). Кроме того, оно может, в общем случае, принимать Шаблон:Нп5 даже для чистых состояний, за уникальным исключением сжатых когерентных состояний и, соответственно, нарушать вторую аксиому Колмогорова.
Области с такими отрицательными значениями «малы»: они не могут распространяться на компактные области больше, чем несколько ħ, и, следовательно, исчезают в классическом пределе. Они защищены неопределенностью Гейзенберга, которая не позволяет точно локализовать частицу в пределах области фазового пространства меньше, чем ħ, и, таким образом, делает такие «отрицательные вероятности» менее парадоксальными. Если левую часть уравнения можно интерпретировать как среднее значение в гильбертовом пространстве по отношению к оператору, то в контексте квантовой оптики это уравнение известно как Шаблон:Нп5. (Подробнее о свойствах и интерпретации функции Вигнера, смотрите главную статью.)
Альтернативный подход к квантовой механике в фазовом пространстве стремится определить волновую функцию (не только квазивероятностной плотности) на фазовом пространстве, обычно с помощью Шаблон:Нп5. Для совместимости с принципом неопределенности, волновая функция в фазовом пространстве не может быть произвольной функцией, иначе частицу можно было бы локализовать в сколь угодно малой области фазового пространства. Скорее, преобразование Сегала — Бергмана является голоморфной функцией от Шаблон:Math. Существует квазивероятностная плотность, связанная с волновой функцией в фазовом пространстве; это Q представление Хусими волновой функции в координатном представлении.
Звёздочное произведение
Шаблон:Main Фундаментальный некоммутативный бинарный оператор в фазовом пространстве, который заменяет стандартный оператор умножения — это звёздочное произведение, обозначаемое символом ★. Каждое представление распределения в фазовом пространстве имеет различные звёздочные произведения. Для конкретности, здесь рассматривается звёздочное произведение, соответствующее представлению Вигнера — Вейля.
Для удобства вводятся обозначения для правой и левой производных. Для пары функций f и g левая и правая производные определяются как
- <math>f \overleftarrow {\partial }_x g = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot g</math>
- <math>f \overrightarrow{\partial }_x g = f \cdot \frac{\partial g}{\partial x}.</math>
Дифференциальное определение звёздочного произведения
- <math>f \star g = f \, \exp{\left( \tfrac{i \hbar}{2} (\overleftarrow {\partial }_x
\overrightarrow{\partial }_{p}-\overleftarrow{\partial }_{p} \overrightarrow {\partial }_{x}) \right)} \, g,</math> где аргумент экспоненциальной функции представляется в виде степенного ряда. Введённые дифференциальные соотношения позволяют записать это выражение в виде разницы в аргументах f и g:
- <math>\begin{align}
(f \star g)(x,p) &= f\left(x+\tfrac{i \hbar}{2} \overrightarrow {\partial }_{p} , p - \tfrac{i \hbar}{2} \overrightarrow {\partial }_{x}\right) \cdot g(x,p) \\ &= f(x,p) \cdot g\left(x -\tfrac{i \hbar}{2} \overleftarrow{\partial }_{p} , p + \tfrac{i \hbar}{2} \overleftarrow{\partial }_{x}\right) \\ &= f\left(x +\tfrac{i \hbar}{2} \overrightarrow{\partial }_{p} , p\right) \cdot g\left(x -\tfrac{i \hbar}{2} \overleftarrow{\partial }_{p} , p\right) \\ &= f\left(x , p - \tfrac{i \hbar}{2} \overrightarrow{\partial }_{x}\right) \cdot g\left(x , p + \tfrac{i \hbar}{2}\overleftarrow{\partial }_{x}\right). \end{align}</math> Также возможно переписать ★-произведение как конволюцию,[15] через преобразование Фурье:
- <math>(f \star g)(x,p) = \frac{1}{\pi^2 \hbar^2} \, \int f(x+x',p+p') \, g(x+x,p+p) \, \exp{\left(\tfrac{2i}{\hbar}(x'p-xp')\right)} \, dx' dp' dx dp ~.</math>
Таким образом, например,[7] гауссианы преобразуются через гиперболическую функцию
- <math>
\exp \left (-{a } (x^2+p^2)\right ) ~ \star ~ \exp \left (-{b} (x^2+p^2)\right ) = {1\over 1+\hbar^2 ab} \exp \left (-{a+b\over 1+\hbar^2 ab} (x^2+p^2)\right ) , </math> или
- <math>
\delta (x) ~ \star ~ \delta(p) = {2\over h}
\exp \left (2i{xp\over\hbar}\right ) , </math> и т. д..
Собственные состояния гамильтониана для распределений известны как «звёздочные состояния», ★-состояния или ★-собственные функции, а соответствующие им собственные значения известны как звёздочные собственные значения или ★-собственные значения. Эти решения находятся аналогично как для стационарного уравнения Шрёдингера, используя уравнения для ★-собственных значений[16][17],
- <math>H \star W = E \cdot W,</math>
где H — гамильтониан, простая функция в фазовом пространстве обычно аналогичная классическому гамильтониану.
Эволюция во времени
Шаблон:Нп5 распределения в фазовом пространстве задаётся квантовой модификацией лиувиллевского потока[2][9][18]. Эта формула является результатом применения преобразования Вигнера к версии квантового уравнения Лиувилля для матрицы плотности или уравнением фон Неймана.
В любом представлении распределения в фазовом пространстве со своим ассоциированным звёздочным произведением эволюция во времени определяется уравнением
- <math>\frac{\partial f}{\partial t} = - \frac{1}{i \hbar} \left(f \star H - H \star f \right),</math>
или для функции Вигнера в частности
- <math>\frac{\partial W}{\partial t} = -\{\{W,H\}\} = -\frac{2}{\hbar} W \sin \left ( {{\frac{\hbar }{2}}(\overset{\leftarrow}{\partial_x}
\overset{\rightarrow}{\partial_p}-\overset{\leftarrow}{\partial_p}\overset{\rightarrow}{\partial_x})} \right ) \ H =-\{W,H\} + O(\hbar^2),</math> где {{ , }} — скобки Мояля, преобразование Вигнера квантового коммутатора, а { , } — классические скобки Пуассона.[2]
Это чёткий пример принципа соответствия: это уравнение явно сводится к классическому уравнению Лиувилля в пределе ħ → 0. Однако в квантовом потоке, плотность точек в фазовом пространстве не сохраняется, и вероятностная жидкость становится «диффузионной» и "сжимаемой"[2]. Таким образом, концепция траектории квантовой частицы не определяется точно. Учитывая ограничения, установленные принципом неопределенности в отношении локализации, Нильс Бор отрицал физическое существование таких траекторий в микроскопическом масштабе. С помощью формальных траекторий в фазовом пространстве, временное уравнение для функции Вигнера можно строго решить с помощью метода интегралов по траекториям[19] и Шаблон:Нп5[20], хотя есть неустранимые практические препятствия в обоих случаях. См. фильм для потенциала Морзе, ниже, чтобы оценить быстрое распространение потенциальных траекторий.
Примеры
Простой гармонический осциллятор
Гамильтониан для простого гармонического осциллятора в одномерном случае в представлении Вигнера — Вейля равен
- <math>H=\frac{1}{2}m \omega^2 x^2 + \frac{p^2}{2m}.</math>
Уравнение на ★-собственные значений для статической функции Вигнера имеет вид
- <math>\begin{align}
H \star W &= \left(\frac{1}{2}m \omega^2 x^2 + \frac{p^2}{2m}\right) \star W \\ &= \left(\frac{1}{2}m \omega^2 \left( x+\frac{i \hbar}{2} \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{p} \right)^2 + \frac{1}{2m}\left(p - \frac{i \hbar}{2} \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{x}\right)^2\right) ~ W\\ &= \left( \frac{1}{2}m \omega^2 \left(x^2 - \frac{\hbar^2}{4} \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{p}^2 \right) + \frac{1}{2m}\left( p^2 -\frac{\hbar^2}{4} \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{x}^2 \right) \right) ~ W\\ &\, \, \, \, \, + \frac{i \hbar}{2} \left(m \omega^2 x \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{p} - \frac{p}{m} \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{x}\right) ~ W \\ &= E \cdot W. \end{align}</math>
Рассмотрим сначала мнимую часть уравнения на ★-собственные значения.
- <math>\frac{\hbar}{2} \left(m \omega^2 x \overrightarrow{\partial }_{p} - \frac{p}{m} \overrightarrow{\partial }_{x}\right) \cdot W=0</math>
Это означает, что можно записать ★-собственные значения как функцию одного аргумента,
- <math>W(x,p)=F\left(\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 + \frac{p^2}{2m}\right)\equiv F(u).</math>
С этой заменой переменных, можно записать действительную часть уравнения на ★-собственные значения в форме модифицированного уравнения Лагерра (не Эрмита), решения которого включают в себя полиномы Лагерра в виде[17]
- <math>F_n(u) = \frac{(-1)^n}{\pi \hbar} L_n\left(4\frac{u}{\hbar \omega}\right) e^{-2u/\hbar \omega} ~,</math>
введенные Груневолдом в его статье[1], которые соответствуют ★-собственным значениям
- <math>E_n = \hbar \omega \left(n+\frac{1}{2}\right)~.</math>
Для гармонического осциллятора эволюция во времени произвольного распределения Вигнера тривиальна. Начальная функция Шаблон:Math развивается во времени с помощью приведенного выше уравнения для гамильтониана осциллятора — она просто жёстко вращается в фазовом пространстве,[1]
- <math>W(x,p;t)=W(m\omega x \cos \omega t - p \sin \omega t , ~ p \cos \omega t + \omega m x \sin \omega t ;0) ~.</math>
Как правило, «холм» (или когерентное состояние) энергии Шаблон:Math может представлять макроскопическую величину и выглядит как классический объект, равномерно вращающийся в фазовом пространстве и напоминает простой механический осциллятор (см. Анимированные фигуры). Интегрируя по всем фазам (начальные позиции при t = 0) таких объектов, непрерывный «палисад», дает не зависящую от времени конфигурацию, аналогичную приведенным выше статическим ★-состояниям F(u) и интуитивную визуализацию Шаблон:Нп5 для систем с большим действием.[6]
Угловой момент свободной частицы
Предположим, что частица первоначально находится в минимально неопределенном гауссовском состоянии, причем ожидаемые значения положения и импульса центрированы в начале координат в фазовом пространстве. Функция Вигнера для такого свободно распространяющегося состояния,
- <math>W(\mathbf{x},\mathbf{p};t)=\frac{1}{(\pi \hbar)^3} \exp{\left( -\alpha^2 r^2 - \frac{p^2}{\alpha^2 \hbar^2}\left(1+\left(\frac{t}{\tau}\right)^2\right) + \frac{2t}{\hbar \tau} \mathbf{x} \cdot \mathbf{p}\right)} ~,</math>
где α — параметр, описывающий начальную ширину гауссиана и Шаблон:Math.
Первоначальное положение и импульсы некоррелированы. Таким образом, в трех измерениях мы ожидаем, что векторы положения и импульса будут в два раза более вероятно расположены перпендикулярно друг другу, чем параллельно.
Однако положение и импульс становятся все более коррелированными по мере того, как состояние эволюционирует во времени, поскольку части распределения дальше от центра соответствуют большему импульсу: асимптотически
- <math>W \longrightarrow \frac{1}{(\pi\hbar)^3}\exp\left[-\alpha^2\left(\mathbf{x}-\frac{\mathbf{p}t}{m}\right)^2\right]\,.</math>
Это относительное «сжатие» отражает распространение пакета свободной волны в координатном пространстве.
Действительно, можно показать, что кинетическая энергия частицы становится асимптотически радиальной только в согласии со стандартным квантовомеханическим представлением о ненулевом угловом моменте основного состояния, определяющем независимость от направления:[22]
- <math>K_{rad}=\frac{\alpha^2 \hbar^2}{2m}\left(\frac{3}{2} - \frac{1}{1+(t/\tau)^2}\right)</math>
- <math>K_{ang}=\frac{\alpha^2 \hbar^2}{2m}\frac{1}{1+(t/\tau)^2}~.</math>
Потенциал Морзе
Потенциал Морзе используется для аппроксимации колебательной структуры двухатомной молекулы.
Квантовое туннелирование
Туннелирование — это ключевой квантовый эффект, когда квантовая частица, не обладающая достаточной энергией для пролёта выше барьера, все же проходит через него. Этот эффект не существует в классической механике.
Потенциал четвёртой степени
Состояние кота Шрёдингера
Ссылки
- ↑ 1,0 1,1 1,2 H.J. Groenewold, «On the Principles of elementary quantum mechanics», Physica,12 (1946) pp. 405—460. Шаблон:DOI
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 J.E. Moyal, «Quantum mechanics as a statistical theory», Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 45 (1949) pp. 99-124. Шаблон:DOI
- ↑ H.Weyl, «Quantenmechanik und Gruppentheorie», Zeitschrift für Physik, 46 (1927) pp. 1-46, Шаблон:DOI
- ↑ E.P. Wigner, «On the quantum correction for thermodynamic equilibrium», Phys.
- ↑ S. T. Ali, M. Engliš, «Quantization Methods: A Guide for Physicists and Analysts.»
- ↑ 6,0 6,1 Шаблон:Статья
- ↑ 7,0 7,1 C. Zachos, D. Fairlie, and T. Curtright, «Quantum Mechanics in Phase Space» (World Scientific, Singapore, 2005) Шаблон:ISBN.
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ 9,0 9,1 9,2 G. S. Agarwal and E. Wolf "Calculus for Functions of Noncommuting Operators and General Phase-Space Methods in Quantum Mechanics.
- ↑ E. C. G. Sudarshan «Equivalence of Semiclassical and Quantum Mechanical Descriptions of Statistical Light Beams», Phys.
- ↑ R. J. Glauber «Coherent and Incoherent States of the Radiation Field», Phys.
- ↑ Kôdi Husimi (1940).
- ↑ K. E. Cahill and R. J. Glauber «Ordered Expansions in Boson Amplitude Operators», Phys.
- ↑ M. Lax "Quantum Noise.
- ↑ G. Baker, "Formulation of Quantum Mechanics Based on the Quasi-probability Distribution Induced on Phase Space, " Physical Review, 109 (1958) pp.2198-2206. Шаблон:Doi
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ 17,0 17,1 Шаблон:Статья
- ↑ C. L. Mehta «Phase‐Space Formulation of the Dynamics of Canonical Variables», J. Math. Phys.,5 (1964) pp. 677—686. Шаблон:Doi
- ↑ M. S. Marinov, A new type of phase-space path integral Шаблон:Wayback, Phys. Lett. A 153, 5 (1991).
- ↑ M. I. Krivoruchenko, A. Faessler, Weyl’s symbols of Heisenberg operators of canonical coordinates and momenta as quantum characteristics, J. Math. Phys. 48, 052107 (2007) Шаблон:Doi.
- ↑ Curtright, T. L. Time-dependent Wigner Functions Шаблон:Wayback
- ↑ J. P. Dahl and W. P. Schleich, «Concepts of radial and angular kinetic energies», Phys. Rev. A,65 (2002). Шаблон:Doi
