Русская Википедия:Преобразование Хаусхолдера
Преобразование Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — линейное преобразование <math>H_u</math> векторного пространства <math>V</math>, которое описывает его отражение относительно гиперплоскости, проходящей через начало координат.
Использовалось в работе американского математика Элстона Скотта Хаусхолдера 1958 года.
Широко применяется в линейной алгебре для QR-разложения матрицы.
Определения
Пусть гиперплоскость описывается единичным вектором <math>u</math>, который ортогонален ей, а <math> \langle \cdot, \cdot \rangle </math> — скалярное произведение в <math>V</math>, тогда
- <math>H_u(x) = x - 2\langle x,u \rangle u</math>
называется оператором Хаусхолдера.
Матрица Хаусхолдера имеет вид:
- <math>H = I - 2 u u^\dagger .</math>
В русскоязычной литературе она также называется матрицей отражения.
Свойства
- Матрица Хаусхолдера является эрмитовой: <math>H = H^\dagger.</math>
- Матрица Хаусхолдера является унитарной: <math>H^\dagger H = I.</math>
- Матрица Хаусхолдера является инволюцией: <math>H^2 = I </math>.
- Преобразование Хаусхолдера имеет одно собственное значение, равное <math>-1</math>, которое соответствует собственному вектору <math>u</math>, все другие собственные значения равны <math>1</math>.
- Определитель матрицы Хаусхолдера равен <math>-1</math>.
Литература
- Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339—342. DOI:10.1145/320941.320947
Ссылки
- http://www.tdoc.ru/c/programming/programming-theory/matrix-vectors-values-page8.html Шаблон:Wayback
- https://web.archive.org/web/20070609042513/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/HouseholderMod.html
