Русская Википедия:Присоединённое представление алгебры Ли
Материал из Онлайн справочника
Шаблон:Значения Присоединённым представлением алгебры Ли <math>\mathfrak g</math> называется линейное представление <math>\operatorname{ad}</math> алгебры <math>\mathfrak g</math> в модуле <math>\mathfrak g</math>, действующее по формуле
- <math>\operatorname{ad}_xy = [x, y],\ \ x,y\in\mathfrak g,</math>
где <math>[ \cdot,\cdot ]</math> ― операция в алгебре <math>\mathfrak g</math>.
Свойства
- Ядро <math>\ker\operatorname{ad}</math> есть центр алгебры Ли <math>\mathfrak g</math>.
- Присоединённые операторы <math>\operatorname{ad}_x</math> являются дифференцированиями алгебры <math>\mathfrak g</math> и называются внутренними дифференцированиями.
- Образ <math>\operatorname{ad}</math> называется присоединённой алгеброй и является идеалом в алгебре Ли <math>\operatorname{Der}\,\mathfrak g</math> всех дифференцирований алгебры <math>\mathfrak g</math>, причём <math>\operatorname{Der}\,\mathfrak g/\operatorname{ad}\,\mathfrak g</math> есть пространство <math>H^1(\mathfrak g,\mathfrak g)</math> 1-мерных когомологий алгебры Ли <math>\mathfrak g</math>, определяемых присоединённым представлением.
- В частности, <math>\operatorname{Der}\,\mathfrak g=\operatorname{ad}\,\mathfrak g</math>, если <math>\mathfrak g</math> ― полупростая алгебра Ли над полем характеристики 0.
Литература
- Джекобсон Н. Алгебры Ли, — Шаблон:М, 1964;
- Понтрягин Л. С. Непрерывные группы, — 3 изд. — Шаблон:М, 1973;
- Серр Ж. — П. Алгебры Ли и группы Ли, пер. c англ. и франц., Шаблон:М, 1969;
- Хамфрис Дж. Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980.
См. также
