Русская Википедия:Произведение Кронекера

Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается <math>\otimes</math>. Результатом является блочная матрица.

Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера.

Определение

Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведение Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq

<math>A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}.</math>

В развёрнутом виде

<math>\mathbf{A}\otimes\mathbf{B} = \begin{bmatrix}

  a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & 
                  \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\
  a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & 
                  \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & 
                  \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\
  \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
  \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
  a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & 
                  \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\
  a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & 
                  \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & 
                  \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq}

\end{bmatrix}. </math>

Если A и B представляют собой линейные преобразования V₁ → W₁ и V₂ → W₂, соответственно, то A ⊗ B представляет собой тензорное произведение двух отображений, V₁ ⊗ V₂ → W₁ ⊗ W₂.

Пример

<math>

 \begin{bmatrix} 
   1 & 2 \\ 
   3 & 4 \\ 
 \end{bmatrix}

\otimes

 \begin{bmatrix} 
   0 & 5 \\ 
   6 & 7 \\ 
 \end{bmatrix}

=

 \begin{bmatrix} 
   1\cdot 0 & 1\cdot 5 & 2\cdot 0 & 2\cdot 5 \\ 
   1\cdot 6 & 1\cdot 7 & 2\cdot 6 & 2\cdot 7 \\ 
   3\cdot 0 & 3\cdot 5 & 4\cdot 0 & 4\cdot 5 \\ 
   3\cdot 6 & 3\cdot 7 & 4\cdot 6 & 4\cdot 7 \\ 
 \end{bmatrix}

=

 \begin{bmatrix} 
   0 & 5 & 0 & 10 \\ 
   6 & 7 & 12 & 14 \\
   0 & 15 & 0 & 20 \\
   18 & 21 & 24 & 28
 \end{bmatrix}

</math>.

Билинейность, ассоциативность и некоммутативность

Произведение Кронекера является частным случаем тензорного произведения, и значит оно является билинейным и ассоциативным:

<math> A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C, </math>

<math> (A+B)\otimes C = A \otimes C + B \otimes C, </math>

<math> (kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B), </math>

<math> (A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C), </math>

где A, B и C есть матрицы, а k — скаляр.

Произведение Кронекера не является коммутативным. Хотя, всегда существуют такие матрицы перестановки P и Q, что

<math> A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q.</math>

Если A и B квадратные матрицы, тогда A <math>\otimes</math> B и B <math>\otimes</math> A являются перестановочно подобными, то есть, P = Q^T.

Транспонирование

Операции транспонирования и эрмитова сопряжения можно переставлять с произведением Кронекера:

<math>(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T,</math>

<math>(A\otimes B)^H = A^H \otimes B^H.</math>

Смешанное произведение

Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда

<math> (A \otimes B)(C \otimes D) = AC \otimes BD. </math>

A <math>\otimes</math> B является обратимой тогда и только тогда, когда A и B являются обратимыми, и тогда

<math> (A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}. </math>

<math> (A \otimes B) \odot (C \otimes D) = (A \odot C) \otimes (B \odot D) </math>, где <math>\odot</math> - произведение Адамара

<math> A \otimes B = (I \otimes B )(A \otimes I)</math>, где <math> I </math> - единичная матрица.

Сумма и экспонента Кронекера

Пусть A — матрица размера n×n, B — матрица размера m×m и <math>E_k</math> — единичная матрица размера k×k. Тогда можно определить сумму Кронекера <math>\oplus</math> как

<math> A \oplus B = A \otimes E_m + E_n \otimes B. </math>

Также справедливо

<math> e^{A \oplus B} = e^A \otimes e^B. </math>

Спектр, след и определитель

Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если λ₁, …, λ_n — собственные значения матрицы A и μ₁, …, μ_q собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями A <math>\otimes</math> B являются

<math> \lambda_i \mu_j, \qquad i=1,\ldots,n ,\, j=1,\ldots,q. </math>

След и определитель произведения Кронекера равны

<math> \operatorname{tr}(A \otimes B) = \operatorname{tr} (A) \, \operatorname{tr} (B), </math>

<math> \det(A \otimes B) = (\det A)^q (\det B)^n. </math>

Сингулярное разложение и ранг

Если матрица A имеет r_A ненулевых сингулярных значений:

<math> \sigma_{A,i}, \qquad i = 1, \ldots, r_A. </math>

Ненулевые сингулярные значения матрицы B:

<math> \sigma_{B,i}, \qquad i = 1, \ldots, r_B. </math>

Тогда произведение Кронекера A <math>\otimes</math> B имеет r_Ar_B ненулевых сингулярных значений

<math> \sigma_{A,i} \sigma_{B,j}, \qquad i=1,\ldots,r_A ,\, j=1,\ldots,r_B. </math>

Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений,

<math> \operatorname{rank}(A \otimes B) = \operatorname{rank} (A) \, \operatorname{rank} (B). </math>

История

Произведение Кронекера названо в честь Леопольда Кронекера, несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли матрицей Зефусса.

Блочные версии произведения Кронекера

В случае блочных матриц могут использоваться матричные операции, связанные c произведением Кронекера и отличающиеся порядком соответствующего перемножения блоков. Таковыми являются произведения Трейси – Сингха (Шаблон:Lang-en) и произведение Хатри — Рао.

Произведение Трейси-Сингха

Указанная операция перемножения блочных матриц заключается в том, что каждый блок левой матрицы умножается последовательно на блоки правой матрицы. При этом формируемая структура результирующей матрицы отличается от характерной для произведения Кронекера. Произведение Трейси – Сингха определяется как^[1]^[2]

<math>\mathbf{A} \odot \mathbf{B} = \left(\mathbf{A}_{ij} \odot \mathbf{B}\right)_{ij} = \left(\left(\mathbf{A}_{ij} \otimes \mathbf{B}_{kl}\right)_{kl}\right)_{ij}</math>

Например:

<math> \mathbf{A} =

\left[ \begin{array} {c | c} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\ \hline \mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} \end{array} \right] = \left[ \begin{array} {c c | c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \hline 7 & 8 & 9 \end{array} \right] ,\quad \mathbf{B} = \left[ \begin{array} {c | c} \mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} \\ \hline \mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} \end{array} \right] = \left[ \begin{array} {c | c c} 1 & 4 & 7 \\ \hline 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{array} \right] , </math>

<math>\begin{align}

 \mathbf{A} \odot \mathbf{B} 
 = \left[\begin{array} {c | c}
     \mathbf{A}_{11} \odot \mathbf{B} & \mathbf{A}_{12} \odot \mathbf{B} \\
     \hline
     \mathbf{A}_{21} \odot \mathbf{B} & \mathbf{A}_{22} \odot \mathbf{B}
   \end{array}\right]
 ={} &\left[\begin{array} {c | c | c | c}
        \mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{12} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{12} \\
        \hline
        \mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{22} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{22} \\
        \hline
        \mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{12} & \mathbf{A}_{22}          \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{12} \\
        \hline
        \mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{22} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{22}
 \end{array}\right] \\
 ={} &\left[\begin{array} {c c | c c c c | c | c c}
         1 &  2 &  4 &  7 &  8 & 14 &  3 & 12 & 21 \\
         4 &  5 & 16 & 28 & 20 & 35 &  6 & 24 & 42 \\
         \hline
         2 &  4 &  5 &  8 & 10 & 16 &  6 & 15 & 24 \\
         3 &  6 &  6 &  9 & 12 & 18 &  9 & 18 & 27 \\
         8 & 10 & 20 & 32 & 25 & 40 & 12 & 30 & 48 \\
        12 & 15 & 24 & 36 & 30 & 45 & 18 & 36 & 54 \\
        \hline
         7 &  8 & 28 & 49 & 32 & 56 &  9 & 36 & 63 \\
        \hline
        14 & 16 & 35 & 56 & 40 & 64 & 18 & 45 & 72 \\
        21 & 24 & 42 & 63 & 48 & 72 & 27 & 54 & 81
      \end{array}\right].

\end{align}</math>

Произведение Хатри-Рао

Шаблон:Main

Данный вариант умножения определён для матриц с одинаковой блочной структурой. Он предусматривает, что операция кронекеровского произведения выполняется поблочно, в пределах одноимённых матричных блоков по аналогии с поэлементным произведением Адамара, только при этом в качестве элементов фигурируют блоки матриц, а для умножения блоков используется кронекеровское произведение.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Хорн Р. Матричный анализ: Пер. с англ. / Р. Хорн, Ч. Джонсон. – М.: Мир, 1989.– 655 с.

Шаблон:Нет ссылок

[1] Шаблон:Cite journal

[2] Шаблон:Cite journal

[1]

[2]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.