Русская Википедия:Простое кольцо (алгебра)
Материал из Онлайн справочника
Простое кольцо — кольцо <math>R</math>, такое, что <math>R^2 \neq \{0\}</math> и в <math>R</math> нет двусторонних идеалов, отличных от <math>R</math> и <math>\{0\}</math>.
Примеры и теоремы
- Рассмотрим кольцо <math>R</math>, такое, что <math>R^2 \neq \{0\}</math>, и аддитивная группа <math>\langle R, +\rangle</math> имеет простой порядок. Тогда кольцо <math>R</math> — простое, так как в <math>\langle R, + \rangle</math> нет собственных подгрупп.
- Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов.
- Ассоциативное коммутативное кольцо <math>R</math> с единицей является полем тогда и только тогда, когда <math>R</math> простое кольцо.
- Если <math>P</math> — поле, <math>n</math> — натуральное число, то кольцо матриц <math>\mathrm{Mat}(P, n)</math> — простое.
Теорема Веддербёрна
Пусть <math>R</math> — простое кольцо с единицей и минимальным левым идеалом. Тогда кольцо <math>R</math> изоморфно кольцу всех матриц порядка <math>n</math> над некоторым телом. При этом <math>n</math> определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела <math>D</math> кольцо <math>\mathrm{Mat}(D, n)</math> является простым кольцом.
Литература
- Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.
- Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
- Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.
