Русская Википедия:Простой элемент
Простой элемент ― обобщение понятия простого числа на случай произвольного коммутативного моноида с двусторонним сокращением, определяется как не являющийся делителем единицы ненулевой элемент <math>p \in G</math>, такой, что произведение <math>ab</math> может делиться на <math>p</math> лишь тогда, когда хотя бы один из элементов <math>a</math> или <math>b</math> делится на <math>p</math>.
Простой элемент всегда неприводим, в общем случае из неприводимости простоты не следует, но в гауссовой полугруппе понятия неприводимости и простоты совпадают, и более того, если всякий неприводимый элемент из <math>G</math> является простым, то полугруппа <math>G</math> — гауссова.
Понятие естественным образом переносится на области целостности, в этом случае имеет место эквивалентность неприводимости и простоты элемента для факториальных (гауссовых) колец, и из простоты всех неприводимых элементов в области целостности следует, что кольцо факториально. Кроме того, простота элемента эквивалентна простоте главного идеала, им порождённого.
Существуют также обобщения понятий простоты и неприводимости на некоммутативный случай.
Литература
