Русская Википедия:Пространство дифференцируемых функций
Шаблон:Нет ссылок Пространством дифференцируемых функций (пространством гладких функций, пространством непрерывно дифференцируемых функций) в функциональном анализе называют пространство всех заданных на компактном множестве <math>\Omega\subset R^n</math> гладких функций с порядком гладкости <math>k</math>, где k — натуральное число (<math>k\in\mathbb N</math>). Обозначения: <math>C^k</math>, <math>C^k(\Omega)</math> . Все функции из <math>C^k</math> обладают непрерывными производными вплоть до <math>k</math>-го порядка включительно.
Пространством бесконечно-дифференцируемых функций (пространством бесконечно-гладких функций) называется множество[1] всех определенных на компакте <math>\Omega\subset R^n</math> функций, имеющих производные всех порядков. Обозначения: <math>C^\infty, C^\infty(\Omega)</math>
Для любого <math>k</math> пространство <math>C^k(\Omega)</math> содержит в себе пространство <math>C^{k+p}(\Omega), \forall p\in\mathbb N</math>, а также пространство <math>C^\infty(\Omega)</math> в качестве своего подмножества: <math>C^1\supset C^2\supset ...\supset C^\infty</math> .
Свойства пространств <math>C^k(\Omega)</math>
- <math>\forall k, C(\Omega)\supset C^{k}(\Omega)</math>, где <math>C(\Omega)</math> — пространство непрерывных функций.
- <math>\forall k, C^k(\Omega)</math> — Банахово пространство. Норма в этом пространстве: <math>\forall f\in C^k(\Omega): \|f\|_{C^k}=\sum\limits_{l=0}^{k} \max_{x\in\Omega} |f^{(l)}(x)|</math>, где <math>f^{(0)}(x)=f(x)</math>, <math>f^{(l)}(x)={d^{l}f(x) \over dx^{l}}</math> .
Также эту норму можно записать в виде <math>\|f\|_{C^k}=\sum\limits_{l=0}^{k}\|f^{(l)}\|_C</math> .
Примечания
