Русская Википедия:Прямоугольная квантовая яма

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Прямоуго́льная ква́нтовая я́ма — средняя. характеризующаяся наименьшей потенциальной энергией, часть трёхчастной квантовомеханической системы с кусочно-постоянной зависимостью потенциальной энергии от декартовой координаты. Обычно рассматривается симметричная система, в которой потенциал в крайних частях одинаков; такой профиль потенциала является одним из самых простых в квантовой механике. Он может быть математически представлен как отрицательная константа на некотором отрезке <math>-a\ldots a</math> и нуль в остальных точках вещественной оси:

<math>U(x) = \begin{cases}

-U_0, & |x| \leqslant a,\\ 0, & |x| > a. \end{cases}</math> Порядок величины <math>a</math> — несколько нанометров, величины <math>U_0</math> — от долей до единиц эВ. Движение по двум другим координатам (то есть в плоскости <math>yz</math>) предполагается свободным.

Волновые функции частицы

Стационарное уравнение Шрёдингера для описанного профиля потенциала имеет вид

<math>\begin{cases}

-\frac{\hbar^2}{2 m}\Psi(x)-U_0 \Psi(x) = E \Psi, & |x| \leqslant a,\\ -\frac{\hbar^2}{2 m}\Psi(x) = E \Psi, & |x| > a. \end{cases}</math> Если ввести обозначения

<math>\varkappa = \sqrt{-\frac{2 m E }{\hbar^2}},</math>

<math>k_0 = \sqrt{\frac{2 m U_0 }{\hbar^2}},</math>

<math>k = \sqrt{k_0^2 - \varkappa^2},</math>

то оно примет вид

<math>\begin{cases}

\Psi(x) + k^2 \Psi = 0, & |x| \leqslant a,\\ \Psi(x) + \varkappa^2 \Psi = 0, & |x| > a. \end{cases}</math> Потенциал инвариантен по отношению к инверсии пространства <math>V(x) = V(-x)</math>, поэтому решения уравнения Шрёдингера являются собственными функциями оператора чётности, то есть являются либо чётными, либо нечётными. Чётные решения имеют вид

<math>u_+(x) = \begin{cases}

A_+ \cos k x, & |x| \leqslant a,\\ A_+ e^{\varkappa (a - |x|)} \cos k a & |x| > a, \end{cases}</math> где

<math>A_+= \frac{1}{\sqrt{ a + \frac{1}{k}\sin ka \cos ka + \frac{1}{\varkappa} \cos^2 ka}}</math>

Нечётные

<math>u_-(x) = \begin{cases}

A_- \sin k x, & |x| \leqslant a,\\ A_- e^{\varkappa (a - |x|)} \sin k a & |x| > a, \end{cases}</math> где

<math>A_-= \frac{1}{\sqrt{ a - \frac{1}{k}\sin ka \cos ka + \frac{1}{\varkappa} \sin^2 ka}}</math>

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга