Русская Википедия:Регулярное локальное кольцо

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Регулярное локальное кольцо — нётерово локальное кольцо, такое что число образующих его максимального идеала совпадает с размерностью Крулля. Название регулярное объясняется геометрическими причинами. Точка <math>x</math> алгебраического многообразия <math>X</math> является неособой (регулярной) тогда и только тогда, когда локальное кольцо <math>\mathcal{O}_{X, x}</math> ростков рациональных функций в точке <math>x</math> регулярно.

Эквивалентные определения

Существует несколько полезных определений регулярного локального кольца. В частности, если <math>A</math> — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом <math>\mathfrak m</math>, следующие определения эквивалентны:

• Пусть <math>\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_n)</math> где <math>n</math> выбрано настолько малым, насколько это возможно (в любом случае, n не может быть меньше размерности Крулля). <math>A</math> регулярно, если

<math>\mbox{dim } A = n.</math>

• Пусть <math>k = A / \mathfrak{m}</math> — поле вычетов кольца <math>A</math>. Тогда <math>A</math> регулярно, если

<math>\dim_k \mathfrak{m} / \mathfrak{m}^2 = \dim A</math>,

Здесь первая размерность — размерность векторного пространства, а вторая — размерность Крулля.

• Пусть <math>\mbox{gl dim } A</math> — глобальная размерность <math>A</math> (то есть супремум проективных размерностей всех <math>A</math>-модулей.) Тогда <math>A</math> регулярно, если

<math>\mbox{gl dim } A < \infty</math>,

в этом случае <math>\mbox{gl dim } A</math> всегда совпадает с размерностью Крулля.

Примеры

• Любое поле — регулярное локальное кольцо. На самом деле, поля — это в точности регулярные локальные кольца размерности 0.
• Регулярные локальные кольца размерности 1 — это в точности кольца дискретного нормирования. В частности, кольцо формальных степенных рядов <math>kx</math> (k — произвольное поле) является регулярным локальным кольцом. Другой пример — кольцо p-адических чисел.
• Более общо, кольцо формальных степенных рядов <math>k[[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{d}]]</math> — регулярное локальное кольцо размерности d.
• Если A — регулярное кольцо (см. определение ниже), то кольцо многочленов <math>A[x]</math> и кольцо формальных степенных рядов <math>Ax</math> регулярны.
• Любая локализация регулярного кольца регулярна. Например, <math>\mathbb Z[x]_{(2,x)}</math> — двумерное регулярное кольцо, не содержащее никакого поля.
• Шаблон:Не переведено 5 регулярного кольца регулярно.

Свойства

Теорема Аусландера — Бухсбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо факториально.

Если <math>(A, \mathfrak{m})</math> — полное регулярное локальное кольцо, содержащее некоторое поле, то

<math>A \cong kx_1, \ldots, x_d</math>,

где <math>k = A / \mathfrak{m}</math>, а <math>d</math> — размерность Крулля.

Происхождение основных определений

Определение регулярного локального кольца было дано Вольфгангом Круллем в 1937 году, однако они стали известными благодаря работам Оскара Зарисского, который доказал что регулярные локальные кольца соответствуют гладким точкам алгебраических многообразий. Пусть Y — алгебраическое многообразие, содержащееся в n-мерном аффинном пространстве над совершенным полем, задающееся как множество общих нулей многочленов (от n переменных) f₁,…,f_m. Y является особым в точке P, если ранг матрицы Якоби (матрицы (∂f_i/∂x_j)) в этой точке ниже, чем в другой точке многообразия. Размерность многообразия равна разности n и ранга матрицы Якоби в неособой точке. Зарисский доказал, что матрица Якоби точка P неособая тогда и только тогда, когда локальное кольцо многообразия Y в P регулярно. (Зарисский также заметил, что это не обязательно верно над несовершенными полями.) Из этого следует, что гладкость является внутренним свойством многообразия, то есть не зависит от конкретного вложения многообразия в аффинное пространство. В 1950-х годах Аусландер и Бухсбаум доказали, что регулярное локальное кольцо факториально.

Многие свойства локальных колец оставались недоказанными до того времени, когда появились соответствующие техники гомологической алгебры. Жан-Пьер Серр нашёл описание регулярных локальных колец в гомологических терминах: локальное кольцо A регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность. Нетрудно доказать, что свойство конечности глобальной размерности остаётся неизменным при локализации. Это позволяет определить регулярность для всех колец, не обязательно локальных: кольцо A называется регулярным, если его локализация по произвольному простому идеалу — регулярное локальное кольцо. Это эквивалентно утверждению, что A имеет конечную глобальную размерность. В частности, все дедекиндовы кольца регулярны.

Литература

• Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000 — ISBN 3-540-66641-9. Chapter IV.D.