Русская Википедия:Резольвента (гомологическая алгебра)
Шаблон:Другие значения Резольве́нта — один из важных инструментов гомологической алгебры, в частности служащий для вычисления функторов [[Ext (функтор)|Шаблон:Math]] и [[Tor (функтор)|Шаблон:Math]].
Проективная резольвента
Компле́ксом Шаблон:Math над [[Модуль над кольцом|Шаблон:Mvar-модулем]] Шаблон:Mvar называется последовательность
Шаблон:Equation box 1{\longrightarrow}X_{n}\stackrel{d_{n}}{\longrightarrow}~\cdots~\stackrel{d_{2}}{\longrightarrow}X_{1}\stackrel{d_{1}}{\longrightarrow}X_{0}\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}C{\longrightarrow}0</math>|ref=*}}
такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все Шаблон:Mvar свободные, комплекс называется свободным, если проективные — проективным. Если последовательность (*) точна, то есть все гомологии Шаблон:Math при Шаблон:Math и Шаблон:Math изоморфна Шаблон:Mvar (считая Шаблон:Math), то данный комплекс называется резольвентой Шаблон:Mvar. Так как любой модуль Шаблон:Mvar является фактормодулем свободного, то любой модуль Шаблон:Mvar можно включить в некоторую свободную (и, тем более, проективную) резольвенту.
Наименьший индекс Шаблон:Mvar, такой что все Шаблон:Math при Шаблон:Math нулевые, называется длиной резольвенты. Проективная размерность модуля — это наименьшая длина его проективной резольвенты. Например, проективный модуль — это в точности модуль проективной размерности 0.
Функторы Шаблон:Math находятся согласно следующей теореме: Если Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar — Шаблон:Mvar-модули, а Шаблон:Math — любая проективная резольвента Шаблон:Mvar, то Шаблон:Math изоморфен группе когомологий Шаблон:Math. Функторы Шаблон:Math находятся согласно следующей теореме: Если Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar — Шаблон:Mvar-модули, а Шаблон:Math — любая проективная резольвента Шаблон:Mvar, то Шаблон:Math изоморфен группе гомологий Шаблон:Math.
Инъективная резольвента
Комплексом Шаблон:Math под Шаблон:Mvar-модулем Шаблон:Mvar называется последовательность:
Шаблон:Equation box 1{\longrightarrow}Y^{1}\stackrel{\delta^{2}}{\longrightarrow}~...~\stackrel{\delta^{n}}{\longrightarrow}Y^{n}\stackrel{\delta^{n+1}}{\longrightarrow}Y^{n+1}{\longrightarrow}~\cdots</math>|ref=**}}
такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все Шаблон:Mvar инъективные, комплекс называется инъективным. Если последовательность (**) точна, то есть все когомологии Шаблон:Math при Шаблон:Math и Шаблон:Math изоморфна Шаблон:Mvar (считая Шаблон:Math), то данный комплекс называется корезольвентой (обычно в этом случае «ко» опускается и говорится об инъективной резольвенте). Так как любой модуль Шаблон:Mvar является подмодулем инъективного и т. д., то любой модуль Шаблон:Mvar можно включить в некоторую инъективную резольвенту.
Функторы Шаблон:Math находятся согласно следующей теореме: Если Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar — Шаблон:Mvar-модули, а Шаблон:Math — любая инъективная резольвента Шаблон:Mvar, то Шаблон:Math изоморфен группе когомологий Шаблон:Math.
Литература
- Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М: ИЛ, 1960
- Маклейн С. Гомология. — М: Мир, 1966
