Русская Википедия:Ротор (дифференциальный оператор)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Ро́тор, рота́цияШаблон:Нет АИ или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Обозначается разными способами:

• <math>\operatorname{rot}</math> (наиболее распространено в русскоязычной литературе),
• <math>\operatorname{curl}</math> (в англоязычной литературе, предложено Максвеллом),
• <math>\mathbf{\nabla} \times</math> — как дифференциальный оператор набла, векторно умножаемый на векторное поле, то есть для векторного поля <math>\mathbf F</math> результат действия оператора ротора, записанного в таком виде, будет векторным произведением оператора набла и этого поля: <math>\mathbf{\nabla}\times\mathbf F</math>.

Результат действия оператора ротора на конкретное векторное поле <math>\mathbf F</math> называется ротором поля <math>\mathbf F</math> или просто ротором <math>\mathbf F</math> и представляет собой новое векторное поле:

<math>\operatorname{rot}\mathbf F\equiv\mathbf{\nabla}\times\mathbf F</math>

Поле <math>\operatorname{rot}\mathbf F</math> (длина и направление вектора <math>\operatorname{rot}\mathbf F</math> в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле (см. далее) вращательную составляющую поля <math>\mathbf F</math> в соответствующих точках.

Определение

Ротор <math>\operatorname{rot}\mathbf a</math> векторного поля <math>\mathbf a</math> — есть вектор, проекция которого <math>\operatorname{rot}_\mathbf n\mathbf a</math> на каждое направление <math>\mathbf n</math> есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру <math>L</math>, являющемуся краем плоской площадки <math>\Delta S</math>, перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки (площади), когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

<math>\operatorname{rot}_\mathbf n \mathbf a=\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\oint\limits_{L}\mathbf{ a\cdot \, dr}}{\Delta S}</math>.

Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении <math>\mathbf n</math>, контур <math>L</math> обходился по часовой стрелке.

Операция, определённая таким образом, существует строго говоря только для векторных полей над трёхмерным пространством. Об обобщениях на другие размерности — см. ниже.

Альтернативным определением может быть непосредственное вычислительное определение дифференциального оператора, сводящееся к

<math>\operatorname{rot}\mathbf a=\nabla\times\mathbf a</math>,

что может быть записано в конкретных координатах как это показано ниже.

Иногда можно встретиться с таким альтернативным определением

<math>\operatorname{rot}\mathbf a \Big|_{O}

= \lim_{S\to O}\frac{\oint\limits_S[d\mathbf S \times \mathbf a]}{V}</math>,

где <math>O</math> — точка, в которой определяется ротор поля <math>\mathbf a</math>,

<math>S</math> — какая-то замкнутая поверхность, содержащая точку <math>O</math> внутри и в пределе стягивающаяся к ней,

<math>d\mathbf S</math> — вектор элемента этой поверхности, длина которого равна площади элемента поверхности, ортогональный поверхности в данной точке,

знаком <math>\times</math> обозначено векторное произведение,

<math>V</math> — объём внутри поверхности <math>S</math>.

Это последнее определение таково, что даёт сразу вектор ротора, не нуждаясь в определении проекций на три оси отдельно.

Интуитивный образ

Если <math>\mathbf v(x,y,z)</math> — поле скорости движения газа (или течения жидкости), то <math>\operatorname{rot}\mathbf v</math> — вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и лёгкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).

Конкретно <math>\operatorname{rot}\mathbf v=2\boldsymbol\omega</math>, где <math>\boldsymbol\omega</math> — эта угловая скорость.

• Простую иллюстрацию этого факта — см. ниже.

Эта аналогия может быть проведена вполне строго (см. ниже). Основное определение через циркуляцию, данное выше, можно считать эквивалентным полученному таким образом.

Выражение в конкретных координатах

Формула ротора в декартовых координатах

В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь <math>\mathbf F</math> — обозначено векторное поле с декартовыми компонентами <math>(F_x, F_y, F_z)</math>, а <math>\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z</math> — орты декартовых координат):

<math>\operatorname{rot}(F_x \mathbf e_x + F_y\, \mathbf e_y + F_z \mathbf e_z) ={}</math>

<math>=

\left( \partial_y F_z - \partial_z F_y \right) \mathbf e_x+ \left( \partial_z F_x - \partial_x F_z \right) \mathbf e_y+ \left( \partial_x F_y - \partial_y F_x \right) \mathbf e_z \equiv</math>

<math>\equiv \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf e_x+

\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf e_y+ \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf e_z</math>,

или

<math>(\operatorname{rot}\mathbf F)_x = \partial_y F_z - \partial_z F_y \equiv

\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}</math>

<math>(\operatorname{rot}\mathbf F)_y = \partial_z F_x - \partial_x F_z \equiv

\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}</math>

<math>(\operatorname{rot}\mathbf F)_z = \partial_x F_y - \partial_y F_x \equiv

\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}</math>

(что можно считать альтернативным определением, по сути совпадающим с определением в начале параграфа, по крайней мере при условии дифференцируемости компонент поля).

Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла (слева) и векторного поля:

<math>\operatorname{rot} \mathbf{F} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix}

\partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{pmatrix} \times \mathbf F = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}</math> (последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель).

Формула ротора в криволинейных координатах

Удобным общим выражением ротора, пригодным для произвольных криволинейных координат в трёхмерном пространстве, является выражение с использованием тензора Леви-Чивиты (используя верхние и нижние индексы и правило суммирования Эйнштейна):

<math>(\operatorname{rot}\mathbf{v})_i=\varepsilon_{ijk}g^{jm}\nabla_m v^k</math>,

где <math>\varepsilon_{ijk}</math> — координатная запись тензора Леви-Чивиты, включая множитель <math>\sqrt g</math>, <math>g^{jm}</math> — метрический тензор в представлении с верхними индексами, <math>g \equiv\det(g_{rs})</math>, а <math>\nabla_m v^k</math> — ковариантные производные от контравариантных координат вектора <math>\mathbf v</math>.

Это выражение может быть также переписано в виде:

<math>(\operatorname{rot}\mathbf v)^n = g^{ni}\varepsilon_{ijk}g^{jm}\nabla_m v^k</math>.

Формула ротора в ортогональных криволинейных координатах

<math>\operatorname{rot}\mathbf{A} = \operatorname{rot}(\mathbf{q_1}A_1 + \mathbf{q_2}A_2 + \mathbf{q_3}A_3) = </math>

<math>{}=\frac{1}{H_2H_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_2}(A_3H_3) - \frac{\partial}{\partial q_3}(A_2H_2)\right]\mathbf{q_1}\ + </math>

<math>{}+\frac{1}{H_3H_1}\left[\frac{\partial}{\partial q_3}(A_1H_1) - \frac{\partial}{\partial q_1}(A_3H_3)\right]\mathbf{q_2}\ + </math>

<math>{}+\frac{1}{H_1H_2}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(A_2H_2) - \frac{\partial}{\partial q_2}(A_1H_1)\right]\mathbf{q_3} </math>

<math>{}=\frac{1}{H_1H_2H_3}\begin{vmatrix} \mathbf(H_1{e}_1) & \mathbf(H_2{e}_2) & \mathbf(H_3{e}_3) \\

\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_1} & \frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_2} & \frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_3} \\ (A_1H_1) & (A_2H_2) & (A_3H_3) \end{vmatrix}</math>, где <math>H_i</math> — коэффициенты Ламе.

Обобщения

• Обобщением ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) является антисимметричное тензорное поле валентности два, компоненты которого равны:

<math>(\operatorname{rot}\mathbf F)_{ij} = \partial_i F_j - \partial_j F_i \equiv

\frac{\partial F_j}{\partial x_i} - \frac{\partial F_i}{\partial x_j}</math>

Эта же формула может быть записана через внешнее произведение с оператором набла:

<math>\operatorname{rot}\mathbf F = \nabla \wedge \mathbf F</math>

• Для двумерной плоскости может быть использована аналогичная формула с псевдоскалярным произведением (такой ротор будет псевдоскаляром, и его величина совпадает с проекцией традиционного векторного произведения на нормаль к данной плоскости, если она вложена в трёхмерное евклидово пространство).

• Если на двумерном вещественном пространстве (с координатами <math>x</math> и <math>y</math>) введена структура комплексного пространства (с координатой <math>z = x + iy</math>) и двумерные векторные поля записываются как комплекснозначные функции <math>f(z)</math>, тогда с использованием дифференцирования по комплексной переменной

<math>\frac{\partial{}}{\partial z} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial{}}{\partial x} - i \frac{\partial{}}{\partial y}\right)</math>

ротор и дивергенцию (а они останутся действительными числами) можно записать так:

<math>\operatorname{rot} f = 2\operatorname{Im}\frac{\partial f}{\partial z}</math>,

<math>\operatorname{div} f = 2\operatorname{Re}\frac{\partial f}{\partial z}</math>.

Основные свойства

• Операция ротора линейна над полем констант: для любых векторных полей <math>\mathbf F</math> и <math>\mathbf G</math> и для любых чисел (констант) <math>a</math> и <math>b</math>

<math>\operatorname{rot}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\operatorname{rot} \mathbf{F} + b\operatorname{rot}\mathbf{G}</math>.

• Если <math>\varphi</math> — скалярное поле (функция), а <math>\mathbf F</math> — векторное, тогда:

<math>\operatorname{rot}(\varphi\mathbf{F})=\operatorname{grad}\varphi\times\mathbf{F}

+ \varphi\operatorname{rot}\mathbf{F}</math>,

<math>\nabla\times(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \times \mathbf{F} + \varphi(\nabla\times\mathbf{F})</math>.

• Если поле <math>\mathbf F</math> потенциально, его ротор равен нулю (поле <math>\mathbf F</math> — безвихревое):

<math>\mathbf{F}=\operatorname{grad}\varphi\implies\operatorname{rot}\mathbf{F} =\boldsymbol0</math>.

• Обратное верно локально: если поле безвихревое, то локально (в достаточно малых областях) оно потенциально (то есть найдется такое скалярное поле <math>\varphi</math>, что <math>\mathbf F</math> будет его градиентом):

<math>\operatorname{rot}\mathbf{F}=\boldsymbol0\implies\mathbf{F}=\operatorname{grad}\varphi</math>

Таким образом, различные векторные поля могут иметь одинаковый ротор. При этом различаться они будут обязательно на безвихревое поле (то есть, локально — на градиент некоторого скалярного поля).

• Дивергенция ротора равна нулю (поле ротора бездивергентно):

<math>\operatorname{div} \operatorname{rot} \mathbf{F} = 0 </math>,

<math>\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0</math>.

• Обратное свойство также выполняется локально — если поле <math>\mathbf F</math> бездивергентно, локально оно является ротором некоторого поля <math>\mathbf G</math>, называемого его векторным потенциалом:

<math>\operatorname{div}\mathbf{F}=0\implies\mathbf F=\operatorname{rot}\mathbf G</math>.

• Дивергенция векторного произведения двух векторных полей выражается через их роторы по формуле:

<math>\operatorname{div} (\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot \operatorname{rot}\mathbf{G} </math>

Таким образом, если <math>F</math> и <math>G</math> — безвихревые векторные поля, их векторное произведение будет бездивергентным и локально будет обладать векторным потенциалом. Например, если <math>\mathbf{F}=\nabla f</math>, а <math>\mathbf{G}=\nabla g</math>, легко найти векторный потенциал для <math>\mathbf{F}\times \mathbf{G}</math>:

<math>\mathbf{F}\times \mathbf{G} = \operatorname{rot}(f\nabla g)</math>.

Локально каждое бездивергентное векторное поле в трёхмерной области является векторным произведением двух градиентов.

• Ротор ротора равен градиенту дивергенции минус лапласиан:

<math>\operatorname{rot}\operatorname{rot}\mathbf{F}=\operatorname{grad}\operatorname{div}\mathbf{F}-\Delta\mathbf{F}</math>.

• Ротор векторного произведения полей равен:

<math>\operatorname{rot} (\mathbf{F \times G}) = (\operatorname{div}\mathbf{G}) \mathbf{F} - (\operatorname{div}\mathbf{F}) \mathbf{G} + \nabla_{\mathbf{G}}\mathbf{F} - \nabla_\mathbf{F}\mathbf{G}</math>.

Физическая интерпретация

При движении сплошной среды распределение её скоростей (то есть поле скорости течения жидкости) вблизи точки О задаётся формулой Коши — Гельмгольца:

<math>\mathbf v(\mathbf r)=\mathbf v_O+\boldsymbol\omega\times\mathbf r+\nabla\varphi+o(\mathbf r)</math>,

где <math>\boldsymbol\omega</math> — вектор углового вращения элемента среды в точке <math>O</math>, а <math>\varphi</math> — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки <math>O</math> складывается из поступательного движения (вектор <math>\mathbf v_O</math>), вращательного движения (вектор <math> \boldsymbol\omega\times\mathbf r</math>) и потенциального движения — деформации (вектор <math>\nabla\varphi</math>). Применяя к формуле Коши — Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке <math>O</math> справедливо равенство <math>\operatorname{rot}\mathbf v=2\boldsymbol\omega</math>, и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

В качестве интуитивного образа, как это описано выше, здесь можно использовать представление о вращении брошенной в поток маленькой пылинки (увлекаемой потоком с собой, без его заметного возмущения) или о вращении помещённого в поток с закреплённой осью маленького (без инерции, вращаемого потоком, заметно не искажая его) колеса с прямыми (не винтовыми) лопастями. Если то или другое при взгляде на него вращается против часовой стрелки, то это означает, что вектор ротора поля скорости потока в данной точке имеет положительную проекцию в направлении на нас.

Формула Кельвина — Стокса

Циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

<math>\oint\limits_{\partial S}\mathbf{F} \cdot\,\mathbf{dl} =

\int\limits_S (\operatorname{rot} ~\mathbf{F}) \cdot \mathbf{dS}</math>

Частный случай формулы Кельвина — Стокса для плоской поверхности — содержание теоремы Грина.

Примеры

• В этой главе будем для единичных векторов по осям (прямоугольных) декартовых координат использовать обозначение <math>\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z.</math>

Простой пример

Файл:Uniform curl.svg

Рассмотрим векторное поле <math>\mathbf F</math>, зависящее от координат <math>x</math> и <math>y</math> так:

<math>\mathbf{F}(x,y)=y\mathbf e_x - x \mathbf e_y</math>.

• В отношении этого примера нетрудно заметить, что <math>\mathbf{F} = \boldsymbol\omega \times \mathbf r</math>, где <math>\mathbf r</math> — радиус-вектор, а <math>\boldsymbol\omega = -1 \mathbf e_z</math>, то есть поле <math>\mathbf F</math> можно рассматривать как поле скоростей точек твёрдого тела, вращающегося с единичной по величине угловой скоростью, направленной в отрицательном направлении оси <math>z</math> (то есть по часовой стрелке, если смотреть «сверху» — против оси <math>z</math>). Интуитивно более или менее очевидно, что поле закручено по часовой стрелке. Если мы поместим колесо с лопастями в жидкость, текущую с такими скоростями (то есть вращающуюся как целое по часовой стрелке), в любое место, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. (Для определения направлений используем, как обычно, правило правой руки или правого винта).
• <math>z</math>-компоненту поля <math>\mathbf F</math> будем считать равной нулю. Однако если она ненулевая, но постоянная (или даже зависящая только от <math>z</math>) — результат для ротора, получаемый ниже, будет тем же.

Вычислим ротор:

<math>\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} =0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y+ \left[ {\frac{\partial}{\partial x}}(-x) -{\frac{\partial}{\partial y}} y \right] \mathbf e_z = -2\mathbf e_z

</math>

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси <math>z</math>. В данном случае ротор оказался константой, то есть поле <math>\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F}</math> оказалось однородным, не зависящим от координат (что естественно для вращения твёрдого тела). Что замечательно,

• угловая скорость вращения жидкости, вычисленная из ротора и оказавшаяся равной точно <math>\operatorname{rot} \mathbf F / 2</math>, точно совпала с тем, что указано в параграфе Физическая интерпретация, то есть этот пример является хорошей иллюстрацией приведённого там факта. (Конечно же, вычисления, полностью повторяющие приведённые выше, но только для неединичной угловой скорости, дают тот же результат <math>\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} = 2\boldsymbol\omega</math>).

Угловая скорость вращения в данном примере одна и та же в любой точке пространства (угол поворота пылинки, приклеенной к твердому телу не зависит от того места, где именно приклеить пылинку). График ротора <math>\mathbf F</math> поэтому не слишком интересен:

Файл:Curl of uniform curl.png

Более сложный пример

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:

<math>\mathbf F(x,y)=-x^2 \mathbf e_y</math>.

Его график:

Файл:Nonuniformcurl.JPG

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке <math>x=4</math>, чем в точке <math>x=3</math>. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении <math>-z</math>. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелки, что соответствует ввинчиванию в направлении <math>+z</math>. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

<math>\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} =

0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y + {\frac{\partial}{\partial x}}(-x^2) \mathbf e_z = -2x \mathbf e_z </math> Действительно, ввинчивание происходит в направлении <math>+z</math> для отрицательных <math>x</math> и <math>-z</math> для положительных <math>x</math>, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Файл:Curl of nonuniform curl.png

Ротор <math>\mathbf F</math> с плоскостью <math>x=0</math>, выделенной тёмно-синим цветом

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от <math>y</math> или <math>z</math> (как и должно быть) и направлен по <math>-z</math> для положительных <math>x</math> и в направлении <math>+z</math> для отрицательных <math>x</math>.

Поясняющие примеры

• В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор (где-то) в центральной области. (см. Вихревое движение). (Правда, ближе к краю где-то ротор может принимать и нулевое значение см. ниже).
• Для векторного поля <math>\mathbf v</math> скоростей движения точек вращающегося твёрдого (абсолютно твёрдого) тела, <math>\operatorname{rot}\mathbf v</math> одинаков всюду по объёму этого тела и равен (вектору) удвоенной угловой скорости вращения (подробнее — см. выше). В частном случае чисто поступательного движения или покоя, этот ротор может быть равен нулю, как и угловая скорость, тоже для всех точек тела.
• Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
• Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, просто записывается (в дифференциальной форме) через ротор: ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля (со временем), взятой с обратным знаком.
• Четвёртое уравнение Максвелла — закон Ампера — Максвелла — также записывается в дифференциальной форме с использованием ротора: ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.

Важный контринтуитивный пример

Нужно иметь в виду, направление ротора может не соответствовать направлению вращения поля (пусть это поле скоростей жидкости), которое представляется очевидным, соответствующим направлению течения. Он может иметь противоположное течению направление, и, в частности, ротор может оказаться равным нулю, хотя линии тока загибаются или даже представляют собой точные окружности). Другими словами, направление искривления векторных линий векторного поля никак не связано с направлением вектора ротора этого поля.

Рассмотрим такой пример. Пусть поле скорости течения жидкости <math>\mathbf v</math> определено формулой:

<math>\mathbf v = -f(y)\mathbf e_x</math>,

<math>\operatorname{rot}\mathbf v = f'(y)\mathbf e_z</math>.

Если <math>f'(y)>0</math>, течение сносит частицу справа налево (то есть для наблюдателя сверху по оси <math>z</math> — против часовой стрелки), однако если <math>f'(y)<0</math> и <math>f(y)</math> — убывающая функция, тогда ротор всюду направлен вниз, что означает, что каждая частица жидкости закручивается ПО часовой стрелке (при этом одновременно ещё и деформируясь).

Сказанное означает, что среда как целое может вращаться вокруг наблюдателя в одну сторону, а каждый её маленький объём — в противоположную сторону, или не вращаться вообще.

См. также

• Шаблон:YouTube
• Шаблон:YouTube
• Векторный анализ
• Теорема Грина
• Формулы векторного анализа